История геометрии

История геометрии. 

Введение. 

    Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от ge -- земля и metrein -- измерять) -- наука о пространстве, точнее -- наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в котором пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно. Уже не может служить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей.

    Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений. За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания. Которые добывались в основном опытным путем, но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построение прямых углов и т.д. Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории. 

1. Геометрия на Востоке. 

    Родиной геометрии считают обыкновенно Вавилон и Египет. Греческие писатели единодушно сходятся па том, что геометрия возникла в Египте и оттуда перенесена в Элладу.

    Первые шаги культуры всюду, где она возникала, в Китае, в Индии, в Ассирии, в Египте, были связаны с необходимостью -- измерять расстояния и участки на земле, объемы и веса материалов, продуктов, товаров; первые значительные сооружения требовали нивелирования, выдержанной вертикали, знакомства с планом и перспективой. Необходимость измерять промежутки времени требовала систематического наблюдения над движением светил, а, следовательно, измерения углов. Всё это было неосуществимо без знакомства с элементами геометрии, и во всех названных странах основные геометрические представления возникали частью независимо друг от друга, частью -- в порядке преемственной передачи. Однако точных сведений о познаниях египтян в области геометрии мы не имеем. Единственным первоисточником, дошедшим до нас, является папирус, написанный при фараоне Payee ученым писарем его Ахмесом (Ahmes) в период между 2000 и 1700 г. до нашей эры. Это -- руководство, содержащее различного рода математические задачи и их решения; значительное большинство задач относится к арифметике, меньшая часть -- к геометрии. Из последних почти все связаны с измерением площадей прямолинейных фигур и круга, причем Ахмес принимает площадь равнобедренного треугольника равной произведению основания на половину боковой стороны. А площадь круга -- равной площади квадрата, сторона которого меньше диаметра на 1/3 его часть (это дает л = 3,160...); площадь равнобочной трапеции он принимает равной произведению полусуммы параллельных сторон на боковую сторону. Как видно из нескольких других задач Ахмеса, египтяне в эту пору знали, что углы прямоугольного треугольника определяются отношением катетов. Как они пришли ко всем этим правилам, знали ли наиболее просвещенные жрецы -- хранители египетской науки, -- что их данные являются лишь приближенными, об этом мы не имеем никаких сведений. Столь же мало знаем мы о том, что прибавило к этим познаниям египтян следующее тысячелетие; сколько-нибудь значительных успехов они, во всяком случае, не сделали. Трудно сказать вполне точно, что из этих сведений египтяне открыли сами, и что они заимствовали от вавилонян и индусов. Несомненно, лишь то, что геометрические сведения вавилонян были столь же отрывочны и столь же скудны. Им принадлежит деление окружности на 360о; они имели сведения о параллельных линиях и точно воспроизводили прямые углы; всё это было им необходимо при астрономических наблюдениях, которые, по-видимому, главным образом и привели к их геометрическим знаниям. Вавилоняне знали, что сторона правильного вписанного в круг шестиугольника равна радиусу. Характерным для этого первого, в известном смысле доисторического, периода геометрии являются две стороны дела: во-первых, установление наиболее элементарного геометрического материала, прямо необходимого в практической работе, а во-вторых, заимствование этого материала из природы путем непосредственного наблюдения («чувственного восприятия», по словам Евдема Родосского). Наиболее характерное выражение этого непосредственного апеллирования к интуиции как единственному удостоверению правильности высказанной истины мы находим у индусского математика Ганеши.  

2. Греческая геометрия. 

    Греческие авторы относят появление геометрии в Греции к концу VII в. до н. э. и связывают его с именем Фалеса Милетского (639 -- 548), вся научная деятельность которого изображается греками в полумифическом свете, так что точно ее восстановить невозможно. Достоверно, по-видимому, то, что Фалес в молодости много путешествовал по Египту, имел общение с египетскими жрецами и у них научился многому, в том числе геометрии. Возвратившись на родину, Фалес поселился в Милете, посвятив себя занятиям наукой, и окружил себя учениками, образовавшими так называемую Ионийскую школу. Фалесу приписывают открытие ряда основных геометрических теорем (например, теорем о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, равенстве вертикальных углов и т. п.). Важнее, по-видимому, другое. Трудно допустить, чтобы наука, "хотя бы в зачаточном своем состоянии, была перенесена на треческую почву одним человеком. Важио то, что в Элладе в иных условиях экономических отношений и социальной жизни образовался класс, для того времени, несомненно, прогрессивный, не только усвоивший восточную культуру, но и развивший ее до неузнаваемой высоты, создавший, таким образом, уже свою высокую эллинскую культуру. В условиях быстро развивавшейся архитектуры, мореплавания, гражданской и военной техники, в условиях развертывавшихся уже в связи с этим исследований в области астрономии, физики, механики, требовавших точных измерений, не только очень скоро обнаружились противоречия и неправильности египетской геометрии, но и в исправленном виде ее скудный материал перестал удовлетворять возросшим потребностям. Элементарные приемы непосредственного наблюдения восточной геометрии были бессильны перед новыми задачами. Чтобы их разрешить, было необходимо оторвать геометрию от непосредственных задач измерения полей и постройки пирамид, -- задач, узких при всей их важности, -- и поставить ей неизмеримо более широкие задания. Этой тенденции и положено было начало Фалесом. Ионийская школа перенесла геометрию в область гораздо более широких представлений и задач, придала ей теоретический характер и сделала ее предметом тонкого исследования, в котором наряду с интуицией начинает играть видную роль и абстрактная логика. Абстрактно-логический характер геометрии, который в Ионийской школе только намечался, подернулся, правда, несколько мистическим флером у пифагорейцев, принял у Платона и Аристотеля более здоровые формы и в Александрийской школе нашел свое завершение. Была создана наука, широкая по замыслу, богатая фактическим материалом и, несмотря на свой абстрактный характер, дающая ряд чрезвычайно важных практических применений. Более того, можно сказать, что именно в абстрактной структуре, которую получила геометрия в трудах греческих ученых с VI по III в. до н. э., и коренится возможность ее конкретного многообразного использования.

    Самое слово «геометрия» недолго сохраняет свое первоначальное значение -- измерения земли. Уже Аристотель ввел для такого измерения новый термин -- геодезия. Однако и содержание этой новой дисциплины скоро тоже стали понимать в более широком смысле, который может быть лучше всего передается современным термином «метрическая геометрия». В трудах Фалеса, Пифагора, Платона, Демокрита, Гиппократа, Динострата, Никомеда, Аристотеля, если назвать только важнейших, с необычайной быстротой производятся установление и систематизация фактического материала классической геометрии. Нужно отметить, что нам известны лишь разрозненные звенья в цельной цепи развития геометрии; многие звенья и имена совершенно утрачены. Около IV в. до н. э. уже стали появляться сводные сочинения под названием «Начал геометрии», имевшие задачей систематизировать добытый геометрический материал. Такие «Начала» по свидетельству Прокла, составили Гиппократ Хиосский, Феодосии из Магнезии, Гиероним Колофонский и др. Ни одно из этих сочинений до нас не дошло: все они утратили свое значение и были забыты, когда появилось замечательное руководство по геометрии -- «Начала» Евклида, жившего в конце IV -- начале III в. до н. э.

    Евклид жил в Александрии в эпоху, когда там образовался наиболее крупный центр греческой научной мысли. Опираясь на труды своих предшественников, Евклид создал глубоко продуманную систему, сохранявшую руководящую роль в течение свыше двух тысяч лет. «Составитель Начал» -- это прозвище сделалось как бы собственным именем, под которым все позднейшие греческие математики разумели Евклида, а его «Начала» сделались учебником, по которому в течение двух тысячелетий учились геометрии юноши и взрослые. Даже те учебники, по которым ведется первоначальное обучение геометрии в наше время, по существу представляют собой переработку «Начал» Евклида.

    Материал, содержащийся в «Началах», по существу охватывает элементарную геометрию, как мы ее понимаем в настоящее время. Метод построения геометрии у Евклида позже характеризовали словами -- строить геометрию исключительно геометрическими средствами, не внося в нее чуждых ей элементов. Это означает, прежде всего, что Евклид не прибегает к арифметическим средствам, т. е. к численным соотношениям. Равенство фигур у Евклида означает, что они могут быть совмещены движением, неравенство -- что одна фигура может быть целиком или частями вмещена в другую. Равновеликость фигур означает, что они могут быть составлены из частей. Именно этими средствами, не прибегая даже к пропорциям, Евклид доказывает, что каждый многоугольник может быть преобразован в равновеликий треугольник, а треугольник -- в квадрат.

    Теорема Пифагора у Евклида имеет только то содержание, которое устанавливается его доказательством: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, может быть разложен на части, равновеликие квадратам, построенным на его катетах; связанное с этим алгебраическое соотношение численных значений гипотенузы и катетов ему совершенно чуждо. Но мало того, что Евклид не пользуется числовыми соотношениями, -- он устанавливает геометрические соотношения, эквивалентные основным алгебраическим тождествам, установленным гораздо позже; этому посвящена почти половина второй книги «Начал».

    Эпоха великих геометров (второй Александрийский период). Наиболее характерной чертой второй Александрийской эпохи является то, что она принесла с собой метрику, которой геометрии Евклида не доставало. Ту задачу, которую Евклид, может быть, сознательно обходил, -- измерение, -- Архимед поставил во главу угла. Это не случайно, а связано с тем прикладным направлением, которым проникнуто все творчество Архимеда, жившего в эпоху (III в. до н. э.), когда борьба между отдельными греческими государствами за независимость и за гегемонию достигла величайшего напряжения. Старость же его протекла в годы, когда началась решительная борьба Эллады за самое ее существование. Легенды связывают всю защиту Сиракуз с именем Архимеда, который изобретал все новые и новые метательные орудия, отражавшие суда осаждавших. Сколько в этом правды, судить трудно. Но Плутарх свидетельствует, что деятельность инженера-практика Архимеда никогда не прельщала, он и не написал по этому предмету ни одного сочинения. В III в. до н. э. прикладные задачи стояли уже перед эллинскими учеными во весь рост. Заслуга Архимеда заключалась не в том, что он построил значительное число катапульт, а в том, что он установил теоретические основы, на которых, в конечном счете, и по сей день, покоится машиностроение, -- он фактически создал основы механики. Механика требовала вычисления масс, а следовательно, площадей и объемов, а также Центров тяжести; механика настоятельно требовала метрической геометрии; на этом и сосредоточено внимание Архимеда в геометрии. Трудности несоизмеримых отношений он преодолевает в том порядке, который по настоящее время остается по существу единственным средством не только практического вычисления, но и теоретического построения учения об иррациональных величинах, -- путем составления последовательных приближений. Но на этом-то пути и было необходимо исключительное искусство, ибо тяжеловесная система счисления представляла самое слабое место греческой математики. Архимед пытался найти радикальные средства для преодоления трудностей счисления -- этому посвящена его книга «Исчисление песка». К цели это не кривело. Это сочинение представляет собой лишнее свидетельство исключительного остроумия Архимеда, но не дает хороших средств для практического счета. Наиболее важным было приближенное вычисление квадратных корней, необходимое для приближенного же вычисления длины окружности; этому посвящено особое, небольшое сочинение, по существу заключающее приближенное вычисление периметров правильных 96-угольников, вписанного в окружность и описанного около нее.

    Таким образом, творения Архимеда существенно отличаются от геометрии Евклида и по материалу и по методу; это -- огромный шаг вперед, это -- новая эпоха. В изложении этих достижений, однако, выдержана система Евклида: аксиомы и постулаты в начале каждого сочинения, тонко продуманная цепь умозаключений, претендующая на совершенство сети силлогизмов. Но, как и система Евклида, геометрия Архимеда постоянно отдает щедрую дань интуиции, причем только рядом с геометрической интуицией здесь появляется интуиция механическая.

    Сочинения, посвященные истолкованию «Начал» появились рано. Первым комментатором Евклида был, по-видимому, еще Гемин Родосский, живший во II в. до н. э. Занимались этим позднее Герои и Папп, а также Теон и другие, но их комментарии до нас либо вовсе не дошли, либо сохранились только в отрывках в передаче Прокла, который писал уже в V в. н. э. Комментарии Прокла сделались вскоре классическим произведением, с которым долго никто не конкурировал в деле истолкования «Начал». К тому же Прокл жил уже в эпоху полного упадка греческой науки, и на его долю выпало лишь подвести общий итог деятельности его великих предшественников. Значение комментаторов Евклида заключается главным образом, в том, что они выяснили слабые места его логической схемы. Не сделав еще ничего для существенного улучшения этой схемы, они указали те пути, по которым проникают в систему Евклида рассуждения, нарушающие выдержанную нить логических выводов. Немало было высказано насмешливых замечаний по поводу комментаторов Евклида: говорили, что они переливали из пустого в порожнее, делали ясное неясным. В этих упреках, конечно, много правды. Комментирование элементарного сочинения не требует больших знаний, и потому было написано много легкомысленных и бессодержательных сочинений по поводу «Начал» Евклида и по вопросу об основаниях геометрии вообще. Но никак нельзя отрицать того, что комментаторы Евклида, тщательно изучавшие «Начала» и глубоко их продумавшие, указали множество темных пунктов этого сочинения и отметили целый ряд свойств пространственных образов, которые должны лечь в основу логической системы геометрии. 

3. Геометрия новых веков. 

    Прокл был уже, по-видимому, последним представителем греческой геометрии. Римляне не внесли в геометрию ничего существенного. Гибель античной культуры, как известно, привела к глубокому упадку научной мысли, продолжавшемуся около 1000 лет, до эпохи Возрождения. Это не значит, однако, что математика в этот период совершенно заглохла. Посредниками между эллинской и новой европейской наукой явились арабы. Когда несколько улегся ярый религиозный фанатизм, царивший в эпоху арабских завоеваний, в условиях быстро развивавшейся торговли, мореплавания и городского строительства стала развертываться и арабская наука, в которой математика играла очень важную роль. Евклид был впервые переведен на арабский язык, по-видимому, в IX в. За этим последовал перевод сочинений других греческих геометров, многие из которых только с этих переводах до нас и дошли. Однако математические интересы арабов были сосредоточены не столько на геометрии, сколько на арифметике и алгебре, на искусстве счета в широком смысле этого слова. Арабы усовершенствовали систему счисления и основы алгебры, заимствованные от индусов; но в области геометрии они не имели значительных достижений.