Понятие простых и сложных процентов

     1. Точные проценты с точным числом  дней ссуды (обозначается 365/365 или АСТ/АСТ). Применяется центральными банками и крупными коммерческими банками в Великобритании, США, дает самые точные результаты.

     2. Обыкновенные проценты с точным  числом дней ссуды (365/360 или АСТ/360). Этот метод, иногда называемый банковским, распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, в внутристрановых — во Франции, Бельгии, Швейцарии. Дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.

     3. Обыкновенные проценты с приближенным  числом дней ссуды

     (360/360). Такой метод принят в практике  коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах.

     В кредитных соглашениях иногда предусматриваются  изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется:

     

     где i — ставка простых процентов в периоде — продолжительность периода с постоянной ставкой, 

     В практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, то есть происходит реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или переменной ставок. Наращенная сумма для всего срока составит

                                      (1.2)

     Где i ,i ,…i — размер ставок, по которым производится реинвестирование.

     Если  промежуточные сроки начисления и ставки не изменяются во времени, то вместо (1.2) имеем

     S= P (1+ ni)

     где m — количество повторений реинвестирования. 

     1.3.Дисконтирование  по простым процентным ставкам 

     В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты, т.е. разность D = S – P — дисконтом или скидкой. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке векселей и других краткосрочных обязательств.

     Дисконтирование можно рассматривать как определение  любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени.

     Этот  прием называют приведением стоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени. Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют современной стоимостью, или современной величиной будущего платежа S, а иногда — текущей, или капитализированной, стоимостью.

     В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования — математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором — учетная ставка.

     Математическое  дисконтирование представляет собой нахождение первоначальной суммы по наращенной. То есть из формулы

     S= P(1+ ni)

     находим P:

     

     Установленная таким путем величина Р является современной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя n лет.

     Дробь называют дисконтным, или дисконтирующим, множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

     При банковском учете банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. Владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги ранее указанного на нем срока.

     Вексель - это ценная бумага, представляющая собой долговую расписку, выполненную в соответствии с требованиями законодательства, то есть на бланке, содержащем наименование, указание срока платежа, места, в котором должен быть совершен платеж, наименование того, кому платеж должен быть совершен, дата и место составления векселя, подпись векселедателя. Выделяют два основных вида векселя – простые и переводные.

     Простой вексель – это документ, удостоверяющий безусловное денежное обязательство векселедателя уплатить по наступлению срока обязательства определенную сумму владельцу векселя.

     Переводной  вексель (тратта) – документ, который  выписывается заемщиком (векселедателем) и представляет собой особый приказ непосредственному плательщику (обычно банку) об уплате в указанный срок суммы денег третьему лицу (векселедержателю).

     При учете векселя применяется банковский, или коммерческий, учет. Согласно этому  методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.

     Размер  дисконта, или суммы учета, равен  Snd; если d — годовая учетная ставка, то n измеряется в годах. Таким образом,

     P= S- Snd = S( 1- nd)                             (1.4.)

     где n — срок от момента учета до даты погашения векселя.

     Дисконтный  множитель равен (1- nd) .

     Учет  посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе К = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным, АСТ/360.

     Необходимые для расчета продолжительности  ссуды в годах и днях формулы  получим из формул (1.1) и (1.4) относительно n.

     Срок  в годах:

     

     Срок  в днях, учитывая, что n=t/ K , где К- временная база:

     

     В потребительском кредите проценты, как правило, начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу уже в момент открытия кредита.

     Погашение долга с процентами производится частями, обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Таким образом, наращенная сумма на весь срок равна:

     S= P( 1+ ni)

     величина  разового погасительного платежа составит:

     R =

     где n — срок кредита в годах, m — число платежей в году.

     В связи с тем, что проценты здесь  начисляются на первоначальную сумму  долга, а его фактическая величина систематически уменьшается во времени, действительная стоимость кредита заметно превышает договорную процентную ставку.

     На  практике возникают случаи, когда  необходимо заменить одно денежное обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. Возникает вопрос о финансовой эквивалентности обязательств.

     Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи приведенными к одному моменту времени, оказываются равными. То есть две суммы S1 и S2, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. 
 
 
 
 
 

     Глава 2. Сложные проценты

     2.1. Начисление сложных процентов 

     Если  проценты не выплачиваются сразу  после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. Присоединение начисленных процентов к сумме базы начисления называют капитализацией процентов.

     Применим  те же обозначения, что и в формуле  наращения по простым процентам.

     В конце первого года проценты равны  величине Рi, а наращенная сумма составит Р + Рi = Р(1 + i). К концу второго года она достигнет величины Р(1 + i)+ Р(1 + i)i = Р(1 + i) и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна:

     S = Р(1 + i)                               (2.1.)

     Проценты  за этот срок:

     I= S – P = P[( 1+ i) -1]

     Величину  (1 + i)   называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов.

     Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как АСТ/АСТ. Если в контракте ставка процентов  изменяется, то применяют формулу:

     

     где i ,i ,…,i — последовательные значения ставок; n ,n ,…,n - периоды для соответствующих ставок.

     Часто для начисления процентов срок не является целым числом. Применяют три метода начисления процентов.

     1. Наращенная сумма находится по  формуле:

     S= P( 1 + i) ( 1+ i)

     где n - целая часть периода начисления, n – дробная часть периода начисления.

     2. Предполагает начисление процентов  за целое число лет по формуле  сложных процентов и за дробную  часть срока по формуле простых  процентов:

     S=P(1+i) (1+n i)

     3. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается:

     S = P ( 1+ i)

     Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения.

     При одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей  существенно зависят от срока. При п > 1 с увеличением срока различие в простых и сложных процентов увеличивается. Соотношение множителей наращения представлено на рис. 3.

     

     Рис. 3. Соотношение множителей наращения  по простым и сложным процентам

На основе формул для простых и сложных  процентов

S = P + I = P + Pni = P(1+ ni) ,

S = Р(1 + i)

получим следующие формулы удвоения:

• удвоение по простым процентам:

     2 = 1+ ni => n =

• удвоение по сложным процентам:

     n= =

     При работе со сложными процентами применяют  правило 72: если процентная ставка есть i, то удвоение капитала происходит примерно за 72/ i лет.

     Например, при ставке в 12% удвоение капитала происходит через 6 лет. 

     2.2. Наращение процентов m раз в  году.

     Номинальная и эффективная ставки 

     В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько  раз в году — по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов.

     Пусть годовая ставка равна j, число периодов начисления в году — m. Каждый раз  проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной.

     Формула наращения:

     

     где N=nm — общее количество периодов начисления.