Простые и сложные проценты

     Теоретическая часть.

     Простые и сложные проценты в экономическом  анализе 

     Под процентными деньгами, или процентами, понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в  любой его форме: выдача ссуды, продажа  товара в кредит, помещение денег  на депозитный счет, учет векселя, покупка  сберегательного сертификата или  облигации и т.д. Какой бы вид  или происхождение не имели проценты, это всегда конкретное проявление такой  экономической категории, как ссудный  процент. Практика получения процентов  за выданные в долг деньги существовала задолго до нашей эры. Например, в  Древней Греции взимали от 10 до 36% суммы долга в год.

     Простые проценты

     Существуют  различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют разные виды процентных ставок. Можно выделить ряд признаков, по которым различаются  процентные ставки.

     Проценты  различаются по базе для их начисления. Применяется постоянная или последовательно  изменяющаяся база для расчета. В  последнем случае за базу принимается  сумма, полученная на предыдущем этапе  наращения, или дисконтирования, иначе  говоря, проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют простые, при переменной – сложные процентные ставки.

     Важным  также является выбор принципа расчетов процентов. Существует два таких  принципа – наращение на сумму  долга и скидка с конечной суммы  задолженности. Соответственно применяют  ставки наращения и учетные ставки. В специальной финансовой литературе проценты, полученные по ставке наращения, иногда называют декурсивными, по учетной  ставке – антисипативными.

     Процентные  ставки могут быть фиксированными (в  контракте указывается их размер) или «плавающими». В последнем  случае фиксируется не сама ставка, а изменяющаяся во времени база («базовая ставка») и размер надбавки к ней  – маржи (например, лондонская межбанковская  ставка ЛИБОР). В России для тех  же целей применяются базовые  ставки по рублевым кредитам МИБОР. Размер маржи определяется рядом условий, в частности финансовым положением заемщика, сроком кредита и т.д. Размер маржи может быть постоянным на протяжении срока ссудной операции или переменным. Постоянными или переменными  могут быть и фиксированные процентные ставки.

     В практических расчетах применяют так  называемые дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные в  договоре интервалы времени (год, полугодие  и т.д.). Иначе говоря, время рассматривается  как дискретная переменная. В некоторых  случаях – в формальных доказательствах  и финансовых расчетах, связанных  с процессами, которые можно рассматривать  как непрерывные, а также в  общих теоретических разработках, редко на практике – возникает  необходимость в применении непрерывных  процентов.

     Наращение по простой процентной ставке.

     Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, и др.) понимают первоначальную ее сумму  с начисленными процентами к концу  срока. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга  на множитель наращения, который  показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная  формула зависит от вида применяемой  процентной ставки и условий наращения. Для записи формулы наращения  простых процентов примем обозначения:

     I – проценты за весь срок ссуды;

     P – первоначальная сумма долга;

     S – наращенная сумма, или сумма в конце срока;

     i – ставка наращения (десятичная дробь);

     n – срок ссуды.

     Срок  обычно измеряется в годах, соответственно i- годовая ставка. Каждый год приносит проценты в сумме Pi . Начисленные за весь срок проценты составят I= Pni. Наращенная сумма находится как S= P+I= P(1+ni) – это формула простых процентов, а множитель называется множителем наращения простых процентов. Увеличение процентной ставки или срока в k раз увеличит множитель наращения в (1+kni) / (1+ni) раз.

     Практика  расчета процентов для краткосрочных ссуд.

     Обычно  к наращению по простым процентам  прибегают при выдаче краткосрочных  ссуд (на срок до одного года) или в  случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Поскольку  ставка, как правило, фиксируется  в контракте в расчете за год, то при сроке ссуды менее года необходимо определить, какая часть  годового процента уплачивается кредитору. Аналогичная проблема возникает  и в других случаях, когда срок ссуды меньше периода начисления.

     Рассмотрим  наиболее распространенный в практике случай — с годовым периодом начисления. Для начала выразим общий срок n в виде дроби:

     n= t/K

     где t — число дней ссуды;

     К — число дней в году, или временная база.

     При расчете простых процентов предполагают, что К = 360 (12 месяцев по 30 дней) или К - 365, 366 дней. Если К = 360, то получают обыкновенные, или коммерческие, проценты, а при использовании действительной продолжительности года (365, 366) получают точные проценты.

     Число дней ссуды также можно измерить приближенно и точно. В первом случае продолжительность ссуды  определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням. Точное число дней ссуды определяется путем подсчета числа дней между  датой выдачи ссуды и датой  ее погашения. День выдачи и день погашения  считаются за один день. Итак, возможны и применяются на практике три варианта расчета простых процентов:

     а) точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант дает самые точные результаты. Данный способ применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками, например в Великобритании. Обычно он обозначается как 365/365 или АСТ/АСТ;

     б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским, распространен в ссудных операциях коммерческих банков, в частности во Франции. Он обозначается как 365/360 или АСТ/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Заметим, что при числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, если t = 364, то n= 364/360 = 1,011;

     в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в практике коммерческих банков Германии. Этот метод обозначается как 360/360.

     Вариант расчета с точными процентами и приближенным числом дней ссуды  лишен смысла и не применяется.

     Реинвестирование.

     В практике при инвестировании средств  в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному  повторению наращения по простым  процентам в пределах заданного  общего срока, т.е. к реинвестированию полученных на каждом этапе наращения средств. Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае 

     S = (1+n1i 1) (1+n2i 2)… 

     где i t – ставки, по которым производится реинвестирование.

     Если  периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то вместо выше приведенной  формулы: 

     S = P(1+ni)m 

     где m – количество реинвестиций.

     Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Рост по учетной ставке.

     В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. Такая ситуация может возникнуть, например, при разработке условий контракта. Расчет P по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты — дисконтом. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем.

     В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования  — математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка наращения, во втором — учетная ставка.

     Сложные проценты

     Формула наращения.

     В средне- и долгосрочных финансово-кредитных  операциях, если проценты не выплачиваются  сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, для наращения, как правило, применяют сложные  проценты. База для начисления сложных  процентов (в отличие от простых) не остается постоянной — она увеличивается  с каждым шагом во времени, абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

     Найдем  формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты), т.е. применяется сложная годовая  ставка наращения. Для записи формулы  наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения  по простым процентам:

     P — первоначальный размер долга (ссуды, кредита и т.д.); S— наращенная сумма; n — срок, число лет наращения.

     Ставку  наращения по сложным процентам  обозначим как i. В тех случаях, когда одновременно речь идет о простых и сложных процентах, для ставки простых процентов применим подписной индекс s.

     Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма составит P + Pi = Р(1 + i). К концу второго года она достигнет величины Р(1 + i) + Р(1 + i)i = P(1+i)2 и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна S = P(1+i)n

     Проценты  за этот же период равны I = S-P = P .

     Проценты  за каждый последовательный год увеличиваются. Для некоторого промежуточного года t они равны 

     It = St-1 *i = P(1+i)t-1*i , t=1,2…, n 

     Рост  по сложным процентам представляет собой процесс, следующий геометрической прогрессии, первый член которой равен  Р, а знаменатель — (1+i). Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды. Величину q= (1+i)n называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля, тысячи и т.д.).

     Величина множителя наращения зависит от двух параметров — i и n. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам.

     Начисление  процентов в смежных календарных  периодах.

     Переменные  ставки.

     Формула S = P(1+i)n предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать "классическую" схему, например с помощью применения плавающих ставок. Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда значения переменных ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных множителей

     S = P(1+i1) n1(1+i2)n2…(1+ik)nk

     где i1, i2, …, ik - последовательные во времени значения ставок;