История развития систем счисления

Министерство образования и  науки Российской Федерации

Федеральное государственное образовательное  учреждение высшего

профессионального образования(ФГОУ ВПО)

 «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет компьютерных технологий и прикладной математики

Кафедра теоретической экономики  экономического факультета

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПОИСКОВО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА № 1

по курсу академической  дисциплины «История экономики и  экономических учений»

на тему:

«История развития систем счисления»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работу выполнил(а):

Студент(ка) ОДО IIIкурса,  
акад.группа № 36 (080116.65 Мате- 

матические методы в экономике)                                                                  В.А.Осипова

_.

Научный руководитель:

Доцент  кафедры теоретической экономики

экономического  факультета, к.э.н.                                                                  Г.А.Бикмашев

 

 

 

 

Краснодар 2012

 

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………………………………………………………………………….3

Глава 1. История развития систем счисления4

1.1 Зарождение  систем счисления4

1.2 Основные понятия и определения………………………………………………………………………………………….5

1.3 Развитие понятия числа6

Глава 2. Системы счисления8

2.1 Образование  десятичной системы счисления……………………………………………………………………………8

2.2 Двоичная (бинарная) система счисления8

2.3 Восьмеричная система счисления………………………………………………………………………………………9

           2.4 Десятеричная система счисления………………………………………………………………………………….9

           2.5 Шестнадцатеричная система счисления…………………………………………………………………10

Глава 3. Представление чисел в  ЭВМ………………………………………………………………………………………………..12

     3.1 Представление чисел с фиксированной  и плавающей запятой………………………………………………12

3.2 Числа с фиксированной запятой……………………………………………………………………………………….13

        3.3 Числа с плавающей запятой……………………………………………………………………………………….14

Заключение16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Современный человек в  повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов  и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых  долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч  лет назад? Вопрос непростой, но очень  интересный. Историки доказали, что  и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить  над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но в любом  случае число изображалось с помощью  одного или нескольких символов.    

Объектом данной работы является  история развития систем счисления.  Предметом работы является то, как развивались и совершенствовались системы счисления от истоков и до наших дней, и в чем заключается их различие.    Целью доклада является обзор по истории систем счисления, начиная с древности и до наших дней, описание каждой из них.        Для достижения  поставленной цели представляется необходимым в рамках данной работы решение следующих задач:        

– проследить развитие систем счисления;

– определить и охарактеризовать понятие термина число и систем счисления;

– показать развитие понятия числа;

– определить виды и типы систем счисления;

– рассмотреть все системы счисления;

– рассмотреть представление  чисел в ЭВМ.

 

Глава 1.История  развития систем счисления.                                                               

1.1 Зарождение  систем счисления.

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Это был еще не счет, а лишь его зародыш.

Впоследствии способность  различать друг от друга небольшие  совокупности развивалась; возникли слова  для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». Последнее  слово длительное время обозначало также неопределенно большое  количество.

С усложнением хозяйственной  деятельности людей понадобилось вести  счет в более обширных пределах. Для этого человек пользовался  окружавшими его предметами, как  инструментами счета: он делал зарубки  на палках и на деревьях, завязывал  узлы на веревках, складывал камешки  в кучки и т.п. Такой вид счета носит название унарной системы счисления, т.е. система счисления, в которой для записи числа применяется только один вид знаков. Это удобно, так как сразу визуально определяется количество знаков и сопоставляется с количеством предметов, которые эти знаки обозначают. Все мы ходили в первый класс и считали там на счетных палочках – это отзвук той далекой эпохи. Кстати, от счета с помощью камешков ведут свое начало различные усовершенствованные инструменты, как, например, русские счеты, китайские счеты («сван-пан»), древнеегипетский «абак» (доска, разделенная на полосы, куда клались жетоны). Аналогичные инструменты существовали у многих народов. Более того, в латинском языке понятие «счет» выражается словом «calculatio» (отсюда наше слово «калькуляция»); а происходит оно от слова «calculus», означающего «камешек».

Особо важную роль играл  природный инструмент человека –  его пальцы. Этот инструмент не мог  длительно хранить результат  счета, но зато всегда был «под рукой» и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах.

Поэтому, вполне естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились  на основе числа 10 – по количеству пальцев  на руках; у некоторых народов  возникали также названия чисел  на основе числа 5 – по количеству пальцев  на одной руке или на основе числа 20 – по количеству пальцев на руках  и ногах.

На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких десятков и лишь позднее  дошли до сотни. У многих народов  число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно  большого количества. В русском языке  слово «сороконожка» имеет смысл  «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее  всякое воображение.

На следующей ступени  счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для  числа 100. Вместе с тем слово «сто»  приобретает смысл неопределенно  большого числа. Такой же смысл приобретают  потом последовательно числа  тысяча, десять тысяч (в старину это  число называлось «тьма»), миллион.

На современном этапе  границы счета определены термином «бесконечность», который не обозначает, какое либо конкретное число¹.

1.2 Основные понятия  и определения.

Системой счисления называют систему приемов и правил, позволяющих устанавливать взаимно-однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами.

В зависимости от способа изображения  чисел с помощью цифр системы  счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах любое число определяется как  некоторая функция от численных  значений совокупности цифр, представляющих это число. Простейшая, но абсолютно неудобная система счисления. Основана на единственной цифре – единице (палочке). Позволяет записывать только натуральные числа. Чтобы представить число в этой системе счисления нужно записать столько палочек, каково само число. Использовалась нецивилизованными племенами, потребности которых в счете, как правило, не выходили за рамки первого десятка. Чисто формально единичную систему счисления можно отнести к числу основных (с основанием 1). Но, в отличие от остальных основных систем счисления, считать ее позиционной можно лишь с очень сильной натяжкой, а универсальной она вообще не является (в ней нельзя представить ноль, дроби и отрицательные числа). Римская система счисления. С помощью семи цифр – I=1 , V=5 , X=10 , L=50 , C=100 , D=500 , M=1000 – можно весьма успешно и довольно выразительно представлять натуральные числа в диапазоне до нескольких тысяч.

Исторически первыми системами  счисления были именно непозиционные  системы. Одним из основных недостатков  является трудность записи больших  чисел. Запись больших чисел в  таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно  велик.

В вычислительной технике непозиционные  системы не применяются, но продолжают ограниченно использоваться для указания порядковых числительных (часов, столетий, номеров съездов или конференций и т.п.).

Позиционная система счисления – система счисления, в которой вес цифры меняется с изменением положения цифры в числе, но при этом полностью определяется написанием цифры и местом, которое она занимает. В частности, это означает, что вес цифры не зависит от значений окружающих ее цифр. Такая система счисления основывается на том, что некоторое число n единиц ( основание системы счисления ) объединяются в одну единицу второго разряда, n единиц второго разряда объединяются в одну единицу третьего разряда и т. д. Основанием систем счисления может быть любое число, больше единицы. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления ( с основанием n=10 ). В ней для обозначения первых десяти чисел служат цифры 0,1,…,9.

Несмотря на кажущуюся естественность такой системы, она явилась результатом  длительного исторического развития. Возникновение десятичной системы  счисления связывают со счетом на пальцах.

В отличии от непозиционной системы  счисления, позиционная система  счисления применяется в ЭВМ².

1.3  Развитие понятия числа

При счете отдельных предметов  единица есть наименьшее число; делить ее на доли не нужно, а часто и  невозможно (при счете камней прибавление  к двум камням половины третьего дает три камня, а не два с половиной). Однако делить единицу на доли приходится уже при грубых измерениях величин, например при измерении длины  шагами (два с половиной шага и  т.д.). Поэтому уже в отдаленные эпохи создалось понятие дробного числа.

Так, в вавилонской системе  мер веса (и денег) 1 талант составлял 60 мин, а одна мина – 60 шекелей. Соответственно с этим в вавилонской математике широко употреблялись шестидесятиричные дроби. В древнеримской весовой (и денежной) системе 1 асс делился на 12 унций; сообразно с этим римляне пользовались двенадцатиричными дробями.

Наши «обыкновенные дроби» широко употреблялись древними греками  и индийцами. Правила действий с  дробями, изложенные индийским ученым Брамагуптой (VIII век н.э.), лишь немногим отличаются от наших. Наша запись дробей тоже совпадает с индийской; только дробной черты индийцы не писали; греки записывали сверху знаменатель, а снизу числитель.

Индийской обозначение дробей и правила действий над ними были усвоены в IX веке в мусульманских странах благодаря узбекскому ученому Мухаммеду Хорземскому (аль-Хваризми). Они были перенесены в Западную Европу итальянским купцом и ученым Леонардо Фибоначчи из Пизы (XIII век).

Наряду с «обыкновенными»  дробями до XVII века применялись (преимущественно в астрономии) шестидесятиричные дроби. Они были вытеснены десятичными дробями, введенными голландским купцом и выдающимся инженером-ученым Симоном Стевином (1548 - 1620).

В дальнейшем оказалось необходимым  еще больше расширить понятие  числа; последовательно появились  числа иррациональные, отрицательные  и комплексные.

 Довольно поздно к  семье чисел присоединился нуль. Первоначально слово «нуль» означало  отсутствие числа (буквальный  смысл латинского слова nullum – «ничто»). Для того чтобы это «ничто» считать числом, появились основания лишь в связи с рассмотрением отрицательных чисел³.

 

Глава 2. Системы  счисления.

2.1 Образование десятичной системы счисления.

В современном русском  языке, а также в языках других народов названия всех чисел до миллиона составляются из 37 слов, обозначающих числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 , 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 (например, восемьсот пятнадцать тысяч триста девяносто четыре). В свою очередь названия этих 37 чисел, как правило, образованы из названий чисел первого десятка (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и чисел 10, 100, 1000 (например, 18 = восемь на десять, 30 = тридесять и т.д.). В  основе этого словообразования лежит  число десять, и поэтому наша система  наименований называется десятичной системой счисления.

Из упомянутого правила  в разных языках имеются различные  исключения, объясняющиеся историческими  особенностями развития счета. В  русском языке единственным исключением  является наименование «сорок». Это  исключение можно поставить в  связь с тем, что число 40 играло некогда особую роль, означая неопределенно  большое количество.

В тюркских языках (узбекском, казахском, татарском, башкирском, турецком и др.) исключение составляют наименования чисел 20, 30, 40, 50, тогда как названия чисел 60, 70, 80, 90 образованы из наименований для 6, 7, 8, 9. Во французском языке  сохранились недесятичные названия чисел 20 и 80, причем 80 именуется quatrevingt, т.е. «четыре двадцать». Здесь мы имеем остаток древнего двадцатеричного счисления (по числу пальцев на руках и ногах). В латинском языке наименование числа 20 тоже недесятичное (viginti). Наименования чисел 18 и 19 образованы из названия 20 с помощью вычитания: 20–2 и 20–1 (duodeviginti, undeviginti, т.е. «два от двадцати», «один от двадцати»)⁴.