Собственный вектор матрицы парных сравнений

1.математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение, какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант, который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан американским математиком Томасом Саати, который написал о нем книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводит симпозиумы ISAHP. МАИ широко используется на практике и активно развивается учеными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод Анализа Иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе, промышленности, здравоохранении и образовании. Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями. Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение. Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки . Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне. Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

 

2. Собственный  вектор матрицы парных сравнений. Собственный вектор матрицы парных сравнений определяет порядок важности сравниваемых объектов в количественном выражении. Он обеспечивает упорядочение приоритетов (критериев) объектов. Иногда значения собственного вектора матрицы парных сравнений назы- вают вектором приоритетов, а собственное значение является мерой согласованности суждений.

Следующим шагом, после составления  матрицы парных сравнений, является вычисление вектора приоритетов. Относительная  сила, величина или вероятность каждого  отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице.

Метод отыскания вектора w основывается на одном из утверждений линейной алгеб-ры - искомый вектор является собственным вектором матрицы парных сравнений, со-ответствующим максимальному собственному числу - λmax. В этом случае отыски-вается λmax, а затем достаточно решить векторное уравнение A*w= λmax *w.

Процедура определения собственных  векторов матриц поддается приближе-нию. Например, приближенное вычисление собственного вектора (столбца) методом среднего геометрического измерения расстояний между оцениваемыми объектами может быть осуществлен в следующем порядке:

- перемножаются элементы каждой строки и полученные результаты записы-ваются в столбец;

- извлекается корень n-й степени из каждого элемента найденного столбца;

- складываются элементы этого столбца;

- каждый из этих элементов делится на полученную сумму.

 

Тем самым получается нормализованный  вектор приоритетов.

 

3. Оценка однородности суждений

В практических задачах количественная (кардинальная) и транзитивная (порядковая) однородность (согласованность) нарушается, поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой. Для улучшения  однородности в числовых суждениях, какая бы величина aij ни была взята для сравнения i-го элемента с j-м, aij приписывается значение обратной величины, т. е. аij = 1/aij. Отсюда следует, что если один элемент в а раз предпочтительнее другого, то последний только в 1/а раз предпочтительнее первого.

При нарушении однородности ранг матрицы  отличен от единицы и она будет иметь несколько собственных значений. Однако при небольших отклонениях суждений от однородности одно из собственных значений будет существенно больше остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта необходимо использовать отклонение величины максимального собственного значения λmax от порядка матрицы п.

Однородность суждений оценивается  индексом однородности (ИО) или отношением однородности (OO) в соответствии со следующими выражениями:

где М(ИО) — среднее значение (математическое ожидание) индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений [E], которое основано на экспериментальных данных (табл. 2.3), полученных в работе [2].

Таблица 2.3

Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы

В качестве допустимого используется значение OO ≤ 0,10. Если для матрицы парных сравнений отношение однородности OO > 0,10, то это свидетельствует о существенном нарушении логичности суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

 

4. Иерархический анализ  используется для взвешивания  собственных векторов матриц  парных сравнений альтернатив  весами критериев (элементов), имеющих  в иерархии, а также для вычисления  суммы по всем соответствующим  взвешенным компонентам собственных  векторов нижележащего уровня  иерархии. Ниже рассматривается  алгоритм иерархического синтеза  [9] с учетом обозначений, принятых в иерархии на рис.2.1.

На первом шаге определяются векторы приоритетов альтернатив  ^^относительно элементов Kj предпоследнего уровня иерархии (i=S).

Здесь через Kj обозначены элементы иерархии (критерии), причем верхний индекс / - указывает уровень иерархии, а нижний индекс j - порядковый номер элемента на уровне. Вычисление множества векторов приоритетов альтернатив Ws относительно S - уровня иерархии осуществляется по итерационному алгоритму, реализованному на основе соотношений (2.5) и (2.6) по исходным данным, зафиксированным в матрицах попарных сравнений. В результате определяется множество векторов:

Ш а г 2. Аналогичным образом обрабатываются матрицы попарных сравнений собственно элементов      Данные матрицы построены таким образом, чтобы определить предпочтительность элементов определенного иерархического уровня относительно элементов вышележащего уровня, с которыми они непосредственно связаны. Например, для вычисления векторов приоритетов элементов третьего иерархического уровня (см. рис. 2.1) обрабатываются следующие три матрицы попарных сравнений:

В матрицах через v обозначен вес, или интенсивность, Е  -го элемента.

В результате обработки матриц попарных сравнений определяется множество векторов приоритетов элементов:

Полученные значения векторов                   используются впоследствии при определении векторов

приоритетов альтернатив  относительно всех элементов иерархии.

Шаг 3. Осуществляется собственно иерархический синтез, заключающийся  в последовательном

определении векторов приоритетов  альтернатив относительно элементов Е   находящихся на всех

иерархических уровнях, кроме  предпоследнего, содержащего элементы Е    . Вычисление векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням. Вычисление проводится путем перемножения соответствующих векторов и матриц.

Общий вид выражения для  вычисления векторов приоритетов альтернатив определяется следующим образом:

где                   — вектор приоритетов альтернатив относительно элемента E1  , определяющий j-й столбец матрицы;             

               — вектор приоритетов элементов E1,   связанных с элементом Ej вышележащего

уровня иерархии.

Ниже приведен конкретный пример по вычислению векторов приоритетов  альтернатив относительно элементов третьего (E³   ), второго (Е²   ) и первого (Е¹   ) уровней иерархии с учетом конкретных связей между элементами иерархии (см. рис. 2.1).

Определение векторов приоритетов  альтернатив для элементов второго  уровня осуществляется

следующим образом:

Результирующий вектор приоритетов  альтернатив относительно корневой вершины иерархии Е¹1

вычисляется следующим образом:

Рассмотренная модификация  МАИ может эффективно применяться  при решении широкого класса

социально-экономических  и управленческих задач.