Применение дифференциального исчисления в экономике

Применение дифференциального  исчисления в экономике 

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем  в конце 17 столетия на основе двух задач:   

1) о разыскании касательной к  произвольной линии  

2) о разыскании скорости при  произвольном законе движения.  

В 17 веке на основе учения Г.Галилея  о движении активно развивалась  кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться  в работах у Декарта, Роберваля, Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс. 

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой  задачей экономического анализа  является изучение связей экономических  величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.     

Например, выберем оптимальный  объем производства фирмой, функция  прибыли которой может быть смоделирована  зависимостью:      

π(q) = R(q) - C(q) =    - 8q + 10               

Решение:      

π'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 →  = 4     

При q <=  4 производная π'(q) < 0 и прибыль убывает  

При q >   = 4 производная  π'(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

Каким же будет оптимальный объем  выпуска для фирмы? Если фирма  не может производить за рассматриваемый  период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.

Эласти́чность — численная характеристика изменения одного показателя (например: спроса или предложения) к другому показателю (например: цене, доходу) и показывающая, на сколько процентов изменится первый показатель при изменении второго на 1%.

Эластичными (по цене) считаются спрос  или предложение, когда изменение  величины спроса (предложения) больше изменения цены (|E|>1).

Неэластичными считаются спрос  или предложение, когда изменение  величины спроса (предложения) меньше изменения цены (|E|<1).

Эластичность для участка 1—2:  .

Относительное изменение цены мы можем  посчитать по следующей формуле:  .

Эластичность спроса по цене:  .