Системы счисления

Системы счисления.

Позиционная и непозиционная  системы счисления

Система исчисления это способ написания любого числа с помощью ограниченного количества символов, и правила выполнения арифметических действий над этими числами. Различают позиционные и не позиционные системы исчисления

В позиционных  системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет. Например:

11 –  здесь первая единица обозначает  десять, а вторая – 1. 
II – здесь обе единицы обозначают единицу.

345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом  случае обозначает 5, во втором  – 50, а в третьем – 500.

XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла  цифра V, она везде обозначает  пять единиц. Другими словами,  величина, обозначаемая знаком V, не  зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем  в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным  алгоритмам (например, умножение в  столбик, сравнение двух чисел).

В мире наиболее распространены позиционные системы счисления а, в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.

Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.

Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр.

Разряд - это позиция цифры в числе. Разрядность числа - количество цифр, из которых состоит число (например, 264 - трехразрядное число, 00010101 - восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка - третий).

Итак, в  позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления.

Одно  и тоже число (значение) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

Как порождаются целые  числа в позиционных  системах счисления?

В каждой системе счисления  цифры упорядочены  в соответствии с  их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижениемцифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть  цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение  старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Целые числа в любой  системе счисления  порождаются с  помощью Правила счета.

Применяя  это правило, запишем  первые десять целых  чисел

• в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

• в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

• в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

• восьмеричной  системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Запись  числа в позиционной  системе счисления.

Основание с/с соответствует  количеству цифр (знаков), используемых для  записи чисел в  этой с/с. Например, основанием десятичной с/с есть число 10 и именно десять цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) мы используем при записи чисел в этой с/с. В двоичной с/с мы используем всего две цифры - 0 и 1, в шестнадцатиричной  - 16, причем для чисел 10,11,12,13,14,15 в этой с/с введены дополнительное цифры (знаки) - A,B,C,D,E,F соответственно, т.к. традиционно используемых цифр недостаточно. Необходимо заметить, что люди дали название той или иной с/с в десятичной с/с. Число, соответствующее основанию рассматриваемой с/с запишется в этой с/с как 10:  
2 (10 с/с) = 10 (2 с/с)  
16 (10 с/с)= 10 (16 с/с)  
8 (10 с/с) = 10 (8 с/с)  
После появления позиционной системы появились и правила (алгоритмы) сложения, вычитания, умножения (столбиком), деления (уголком). Однако с технической точки зрения основание 10 не слишком удобно: в цепях электрических схем необходимо для этого иметь 10 различных сигналов (хотя десятичная с/с использовалась в механических арифмометрах). С технической точки зрения, чем меньше сигналов в схеме, тем лучше. Наименьшее основание , которое может быть у позиционной с/с, - это 2. Поэтому двоичная с/с широко используется в современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи.

Двоичная  система счисления.В настоящий момент – наиболее употребительная в информатике, вычислительной технике и смежных отраслях система счисления. Использует две цифры – 0 и 1, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной части.

Десятичная  система счисления. Использует десять обычных цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Существует массовое заблуждение, будто именно десятичная система счисления является наиболее употребительным способом записи чисел. Между тем, более внимательный анализ правил чтения и записи чисел приводит к другому выводу: система счисления, которой мы обычно пользуемся, фактически является двойной, так как имеет основания – 10 и 1000. В частности, в русском языке известны названия только для первых семи разрядов десятичной системы счисления ( 1 – единица, 10 – десяток, 100 – сотня, 1000 – тысяча, 10000 – тьма, 100000 – легион, 1000000 – миллион ), но предпоследние два из них (легион и тьма) давно вышли из употребления, а соседние с ними (миллион и тысяча) – названия классов, а не только разрядов. Итак, фактически в русском языке остались лишь два самостоятельных названия для десятичных разрядов: десяток и сотня. В других языках – аналогичная ситуация.

Шестнадцатеричная система счисления. Использует шестнадцать цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 в их обычном смысле, а затем B=11 ,C=12 ,D=13 ,E=14 ,F=15 . Также использует символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. С другой стороны, в некоторых языках сохранились и следы использования этой системы счисления в прошлом. Например, в романских языках (испанском, французском и др.) числительные от 11 до 16 образуются по одному правилу, а от 17 до 19 – по другому. А в русском языке известен пуд, равный 16 килограммам.