Построение семейства графиков функций вида Y=F(X)

     Введение  термина «полярные координаты»  приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему.

Графическое представление

       

     Точка в полярной системе координат.

     Каждая  точка в полярной системе координат  может быть определена двумя полярными  координатами, что обычно называются r (радиальная координата) и (угловая координата, полярный угол, азимут, иногда пишут θ или t). Координата r соответствует расстоянию до полюса, а координата равна углу в направлении против часовой стрелки от луча через 0° (иногда называется полярной осью).

     Например, точка с координатами будет выглядеть на графике как точка на луче, который лежит под углом 60° к полярной оси, на расстоянии 3 единиц от полюса. Точка с координатами будет нарисована на том же месте, поскольку отрицательное расстояние изображается в положительную в противоположном направлении (на 180°).

     Одной из важных особенностей полярной системы  координат является то, что одна и та же точка может быть представлена бесконечным количеством способов. Это происходит потому, что для  определения азимута точки нужно  повернуть полярную ось так, чтобы  он указывал на точку. Но направление на точку не изменится, если осуществить произвольное число дополнительных полных оборотов. В общем случае точка может быть представлена в виде или , где n — произвольное целое число.

     Для обозначения полюса используют координаты . Независимо от координаты точка с нулевым расстоянием от полюса всегда находиться на нём. Для получения однозначных координат точки, обычно следует ограничить значение расстояния до неотрицательных значений , а угол к интервалу или (в радианах или ).

     Углы  в полярных координатах задаются либо в градусах, либо в радианах, при этом . Выбор, как правило, зависит от области применения. В навигации традиционно используют градусы, в то время как в некоторых разделах физики, и почти во всех разделах математики используют радианы.

Уравнение кривых в полярных координатах

     Благодаря радиальной природе полярной системы  координат, некоторые кривые могут  быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат были бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.

     Окружность

       

     Круг, заданный уравнением .

     Общее уравнение окружности с центром  в ( ) и радиусом a имеет вид:

     

     Это уравнение может быть упрощено для  частных случаев, например

     

     является  уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом a.

     Прямая

Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением

     

где θ — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, где m — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую в точке определяется уравнением

     

     Полярная роза

       

     Полярная роза задана уравнением .

     Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

     

     для произвольной постоянной θ₀ (включая 0). Если k — целое число, то это уравнение будет определять розу с k лепестками для нечётных k, либо с 2k лепестками для чётных k. Если k — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная a определяет длину лепестков.

     Если  считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном  k мы будем иметь k - лепестковую розу. Таким образом, уравнение будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус - это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным. 

     Спираль Архимеда

       

     Одна  из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением для .

     Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

     

     Изменения параметра a приводят к повороту спирали, а параметра b — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для а другую для . Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением. 

     Конические сечения

       

     Эллипс.

Коническое сечение, один из полюсов которого находится  в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:

     

где e — эксцентриситет, а  — фокальный параметр. Если e > 1, это уравнение определяет гиперболу; если e = 1, то параболу; если e < 1, то эллипс. Отдельным случаем является e = 0, определяющее круг с радиусом .

Применение

     Полярная  система координат двумерная  и поэтому может применяться  только в тех случаях, когда местонахождение  точки определяется на плоскости, или  для случая однородности свойств  системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, в приведённых выше примерах видно, что простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнения которых в прямоугольной системе координат гораздо сложнее. Кроме того, многие физических системы — такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра — гораздо проще моделировать в полярных координатах. Причиной создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу.

     Позиционирование и навигация

     Полярную  систему координат часто применяют  в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для навигации, луч 0° называют направлением 360, а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитному северу, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу. Так, самолёт, летящий 5 морских миль на восток можно описать как самолёт, летящий 5 единиц в направлении 90 (центр управления полётами назовёт его найн-зиро).

     Моделирование

       

     Фронт мощности звуковой волны промышленного  громкоговорителя показан в сферических полярных координатах при шести частотах.

     Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы  координат совпадает с центром  симметрии. В качестве примера можно  привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, так и системы с точечными источниками энергии, такие как радиоантенны.

     Трёхмерное  моделирование звука динамиков  может использоваться для прогнозирования  их эффективности. Необходимо сделать  несколько диаграмм в полярных координатах  для широкого диапазона частот, поскольку фронт существенно меняется в зависимости от частоты звука. Полярные диаграммы помогают увидеть, что многие громкоговорители с понижением частоты звука теряют направленность.

 
 
 

     1.3 Связь между полярной и декартовой  системами координат

     Пару  полярных координат r и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

     

     

     в то время как две декартовы  координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r:

     r² = y² + x² (по теореме Пифагора).

     Для определения угловой координаты следует принять во внимание два следующие соображения:

• Для , может быть произвольным действительным числом.
• Для , чтобы получить уникальное значение , следует ограничиться интервалом в 2π. Обычно выбирают интервал или .

     Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями (arctg обозначает обратную функцию к тангенсу):

     

     Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями:

     

     Учитывая, что для вычисления полярного  угла не достаточно знать отношение  y к x, а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций помимо функции atan, определяющей арктангенс числа, ещё и дополнительную функцию atan2, которая имеет отдельные аргументы для числителя и знаменателя. В языках программирования, поддерживающих необязательные аргументы (например, в Common Lisp), функция atan может получать значение координаты x.