Лекции по "Компьютерной графике"

Эти формулы  можно рассматривать двояко, либо сохраняется точка, и изменяется система координат, либо сохраняется система координат и изменяется точка. В дальнейшем эти формулы будут рассматриваться именно как преобразование точек в заданной системе координат. Причем все рассматриваемые системы будут прямоугольными (формулы позволяют работать и с непрямоугольными).

 
 
 
 
 
 
 
 

Нужно отметить, что координаты точки M можно представить в виде вектора из начала координат с координатами Mx,My.

Тогда преобразование можно записать в  векторной форме (это справедливо  только для прямоугольной системы координат).

M*=((M-O*)X*,(M-O*)Y*)

, где  O*-координаты начала координат второй системы в координатах первой. X*,Y* - орты (направляющие вектора) второй системы координат в координатах первой.

a=(Xx*), b=(Xy*),c=-O*X*

d=(Yx*), e=(Yy*),f=-O*Y*

Это преобразование можно записать и в матричном виде

, или  , где вектора считаются в виде матриц вида 1´2.

Элемент Cij матрицы C=AB есть сумма произведений элементов i-ой строки матрицы A на элементы j-ого столбца матрицы B. 

 

Обратное  преобразование – решение системы  линейных уравнений, либо использовать обратную матрицу  , но для случая, когда система представлена ортами можно проще. С этом случае обратная матрица равна транспонированной.

 

Аффинное  преобразование – геометрическое преобразование плоскости или пространства которое  можно получить комбинируя поворот, перенос, зеркальные отражения и  масштабирование в направлениях координатных осей.  

Поворот (R - rotation). Вокруг начала координат на угол a.

x^*=x*cosa-y*sina

y^*=x*sina+y*cosa 

Растяжение, сжатие вдоль координатных осей (D – dilatation).

x^*=k*x

y^*=m*y

k>0, m>0 

Отражение (M – mirror). Относительно оси абсцисс.

x^*=x

y^*=-y 
 

Перенос (T – translation).

x^*=x+a

y^*=y+b 

Перенос представить в виде произведений вектора на матрицу нельзя, зато можно в виде суммы векторов.  

В курсе  аналитической геометрии доказывается, что любое преобразование можно представить как последовательное исполнение (суперпозицию) этих простейших преобразований.

Иногда  удобно представлять все преобразования в одной матричной форме, для  этого используют однородные координаты. 
 

Однородные  координаты 

Для точки  M с координатами x,y на плоскости, однородными координатами является тройка чисел x1,x2,x3, одновременно неравная нулю и связанная соотношениями x1/x3=x, x2/x3=y. Точке с координатами x,y на плоскости сопоставляется точка xh,y,h,h в однородном пространстве, обычно h=1 (x,y,1).

Общее преобразование точек в однородных координатах можно записать в  виде.

   

А матрицы  основных преобразований будут выглядеть  следующим образом:

            [R]   [D]   [M]  [T] 

Комбинация  преобразований. 

Предположим нужно повернуть точку на угол вокруг некоторой точки A.

Начала переносим  точку A в начало координат (-Ax,-Ay). Затем поворот. Затем перенос обратно в точку А. (Ax,Ay). Можно получить единое преобразование [T(-A)][R(a)][T(A)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Аффинные  преобразования в пространстве 

В 3D пространстве точка (вектор) представляется тремя координатами (x,y,z), или четырьмя однородными координатами (x,y,z,1).

Следует ввести понятия левая и правая тройка векторов. Три вектора a,b,c образуют правую тройку, если после совмещения начал векторов кратчайший поворот от a к b кажется наблюдателю, смотрящему с конца вектора c идущим против часовой стрелки. Правило правой руки – вектор a совмещается с локтем, вектор b входит в ладонь, вектор c совпадает с большим пальцем. Система координат называется правой, если ее направляющие вектора образуют правую тройку.

Векторное произведение c=a´b, с – вектор перпендикулярный обоим векторам, образует с ними правую тройку.

Cx=Ay*Bz-Az*By, Cy=Az*Bx-Ax*Bz, Cz=Ax*By- Ay*Bx 

Преобразования остаются те же: вращение (только теперь вокруг трех осей), растяжение, отражение (относительно трех плоскостей), перенос.

Вращение  против часовой, если смотреть из начала координат для левой системы  координат (для правой – наоборот).

, ,  

,

, ,  

Например, нужно  построить матрицу вращения относительно прямой с направляющим ортом L, проходящей через точку A.

1. Перенос  A в начало координат [T(-A)]

2. Совмещение  прямой с осью X.

Сначала поворот вокруг оси X

на угол a [Rx(a)], cosa=Lz/d, sina=Lx/d, где d=

Если  d=0, значит прямая уже совпадает с осью X.

Затем поворот вокруг оси Y на угол b [Ry(b)].

Повернутый  вектор равен (Lx,Ly,Lz,1)[Rx]=(Lx,0,d,1).

cosb=Lx, sinb=d

3. Поворот  вокруг оси X на нужный угол [Rx(j)]

4. Возвращение  к оси L [Ry(-b)],[Rx(-a)]

5. Перенос  на точку A [T(A)]

Общая матрицы получится

[T(-A)] [Rx(a)][Ry(b)][Rx(j)][Ry(-b)][Rx(-a)][T(A)] 
 

Преобразование  в систему координат  заданную ортами 

Если  система задана тройкой взаимно  перпендикулярных ортов X*,Y*,Z*.

, обратное преобразование – транспонированная матрица [R]^T 

Проектирование 

Проектирование  необходимо в первую очередь, для  того, чтобы отобразить трехмерные объекты на плоском экране, но существуют и другие применения, например, тени.

Существует  два наиболее употребляемых вида проектирования параллельное и центральное (перспективное).

При проектировании объекта на плоскость нужно провести через каждую точку объекта прямую из заданного проектирующего пучка  и найти пересечение этой прямой с плоскостью.

При параллельном проектировании пучок  состоит из параллельных прямых, при центральном – проходит через некоторую точку.

Параллельные проекции можно разделить  на два типа, когда прямые пучка  перпендикулярны плоскости проектирования – проекции называют аксонометрическими, а когда нет, косоугольными (такие  проекции мы рассматривать не будем).

Таким образом, чтобы получить аксонометрическую  параллельную проекцию объекта на экране нужно совместить направление пучка  с одной из осей (обычно это Z). Оси X и Y совпадут с осями X,Y на экране, а ось Z – будет направлена вглубь экрана. 
 

Чтобы получить перспективную проекцию точки  необходимо поместить точку схода  пучка в начало координат, направление  на экран (перпендикуляр из точки  схода к плоскости проектирования) совместить с осью Z, тогда Xp=X*d/Z, Yp=Y*d/Z, где d - расстояние от начала координат до плоскости проектирования.

Это преобразование можно записать в виде матрицы. ,

тогда

Единственное, в таком преобразовании теряется глубина (z), но можно ее вычислить из последней координаты вектора.  

Кроме этих преобразований проектирования необходимо сделать еще несколько, чтобы  изображение правильно смотрелось на экране. Во-первых, его нужно растянуть  до размеров окна, во-вторых, его нужно  зеркально отобразить вокруг оси  Х (т.к. ось Y обычно направлена вниз), в-третьих, его нужно перенести в центр окна.

Общая матрица преобразования выглядит следующим  образом.

Cx,Cy – координаты центра экрана.

ratio – отношение размера по Y к размеру по X, для разных разрешений экрана разный. Разрешение – количество точек на единицу поверхности, в данном случае единица – весь экран монитора. Экран монитора имеет соотношение горизонтального размера к вертикальному 4/3, поэтому для разрешений с количеством точек по горизонтали и вертикали кратным этому числу ratio=1 (например 640/480). Иначе ratio=(4*sizey)/(3*sizex) (320x200 =0.83).

S – масштабный коэффициент, для параллельной проекции выбирается вручную, для перспективной проекции S равняется единице, но рассчитывается d (расстояние до плоскости проектирования) исходя из поля зрения FOV (field of view). FOV – максимальный угол, который образуют прямые в пучке, угол зрения. 

 
 

FOV обычно варьируется от 50° до 100°, FOV человеческого глаза - 90°. 
 
 

Мировая, модельная и экранная системы координат 

Мировая – основная система координат, в  которой заданы все объекты сцены.

Модельная – система координат, в которой  задана внутренняя структура объектов.

Экранная – система координат наблюдателя, еще ее называют системой координат камеры.

Модель  обычно располагают в модельной  системе таким образом, что центр  системы совпадает либо с геометрическим, либо с центром масс модели, ось  X совпадает с направлением вперед, ось Y – вправо, ось Z – вверх.

Модель  задается в мировой системе координат координатами центра модели M (вектор) и ориентацией (либо тремя ортами, либо тремя углами крен (X), тангаж (Y), курс (Z), матрица при этом формируется как последовательность поворотов [Rx][Ry][Rz]). Для преобразования из модельных координат нужно сначала повернуть в соответствии с матрицей ориентации [Rm], а затем перенести на [T(M)].