Кривые второго порядка

ОЗЁРСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ  КОЛЛЕДЖ

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ НА ТЕМУ:

«КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

1.Кривые второго порядка

 

1.1 Эллипс

 

1.2 Гипербола

 

1.3 Парабола

 

2.Теоремы, связанные с  кривыми второго порядка

 

Литература

 

 

 

Введение

 

 

 

Впервые кривые второго порядка  изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы  угла, ими образованного, то получится  конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в  сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько  вырожденных фигур.

 

Однако эти научные  знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты  движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

 

 

 

1. Кривые второго порядка

 

 

 

Кривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в  некоторой декартовой системе координат  определяется уравнением

 

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0

 

где a, b, c, d, e, f — вещественные коэффициенты, причем a2 + b2 + c2 ≠ 0 .

 

Вид кривой зависит от четырёх  инвариантов:

 

инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:

 

инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

 

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены  при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению  кривой:

Так, например, невырожденная  кривая оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

Или

λ2 − Iλ + D = 0.

Корни этого уравнения  являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы и, как следствие  этого, всегда вещественны:

Кривые второго порядка  классифицируются на невырожденные  кривые и вырожденные.

Доказано, что кривая 2–го порядка, определяемая этим уравнением принадлежит к одному из следующих типов: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих), точка, пустое множество.

Иными словами, для каждой кривой 2-го порядка (для каждого  уравнения) существует такая система  координат, в которой уравнение  кривой имеет вид:

 

1.1 Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых  сумма расстояний до двух фиксированных  точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Отрезки, соединяющие точку эллипса с  фокусами, называются фокальными радиусами  точки.

Если эллипс описывается  каноническим уравнением

где a > 0 , b > 0, a > b > 0 —  большая и малая полуоси эллипса, то фокусы эллипса расположены симметрично  на оси абсцисс и имеют координаты (−c, 0) и ( c, 0), где

Величина e = c/a называется эксцентриситетом эллипса.

 

По определению эллипса r1 + r2 = 2a, r1 и r2 − фокальные радиусы, их длины вычисляются по формулам

Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс является окружностью

 

1.2 Гипербола

Гиперболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой  декартовой системе координат описывается  уравнением

где a > 0, b > 0 — параметры  гиперболы.

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а  система координат, в которой  гипербола описывается каноническим уравнением, называется канонической.

В канонической системе оси  координат являются осями симметрии  гиперболы, а начало координат —  ее центром симметрии.

Точки пересечения гиперболы  с осью OX ( ± a, 0) называются вершинами гиперболы.

С осью OY гипербола не пересекается.

Отрезки a и b называются полуосями  гиперболы.

Рис.1

Прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0 — асимптоты гиперболы, при удалении точки гиперблы в бесконечность, соответствующая ветвь гиперболы приближается к одной из асимптот.

Уравнение описывает гиперболу, вершины которой лежат на оси OY в точках (0, ± b).

 

Рис.2

Такая гипербола называется сопряженной к гиперболе её асимптоты  — те прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0. Говорят о паре сопряжённых гипербол.

1.3 Парабола

Параболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой  декартовой системе координат описывается  уравнением

y2 = 2 px

где p > 0 — параметр параболы.

Такое уравнение называется каноническим уравнением параболы, а  система координат, в которой  парабола описывается каноническим уравнением, называется канонической.

В канонической системе ось  абсцисс является осью симметрии  параболы, а начало координат —  её вершиной.

 

Рис.3

Уравнения y2 = −2 px, x2 = 2 py, и x2 = −2 py, p > 0, в той же самой канонической системе координат также описывают параболы:

 

2. Теоремы, связанные  с кривыми второго порядка

Теоремма Паскамля — теорема проективной геометрии, которая гласит, что:

Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения  трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой. Теорема  Паскаля двойственна к теореме  Брианшона.

Теорема Брианшона является классической теоремой проективной геометрии. Она сформулируется следующим образом:

Если шестиугольник описан около конического сечения, то три  диагонали, соединяющие противоположные  вершины этого шестиугольника, проходят через одну точку.

В частности, в вырожденном  случае:

Если стороны шестиугольника проходят поочерёдно через две данные точки, то три диагонали, соединяющие  его противоположные вершины, проходят через одну точку.

Теорема Брианшона двойственна к теореме Паскаля, а её вырожденный случай двойственен к теореме Паппа.

 

Литература

1. Корн Г., Корн Т. Кривые  второго порядка (конические сечения) // Справочник по математике. —  4-е издание. — М: Наука, 1978. —  С. 64-69.

2. Корн Г., Корн Т. 2.4-5. Характеристическая  квадратичная форма и характеристическое  уравнение // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64.

3. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия, гл. 6. М.: "Наука", 1988.