Механические колебания и шум

Колебательные процессы встречаются  повсюду в природе и технике. В астрономии планеты периодически обращаются вокруг Солнца, переменные звезды, такие как цефеиды, периодически меняют свою яркость, движение Луны вызывает приливы и отливы. В геофизике  периодические процессы проявляются  при изменении климата, в поведении  океанических течений, в динамике циклонов и антициклонов. Внутри живых организмов происходят десятки различных периодических  процессов с периодом от доли секунды  до года, и т.д.  
Мы начнем рассмотрение колебаний с анализа простейшей системы − гармонического осциллятора.

Свободные гармонические колебания

Примером такой простейшей системы является груз массы m, прикрепленный к пружине жесткостью k(рисунок 1). В идеальном случае (пренебрегая сопротивлением воздуха и внутренним трением) такая система будет совершать незатухающие гармонические колебания, при которых смещение x описывается функцией косинус или синус:

В этих формулах A означает амплитуду колебаний, ωt + φ₀ − фазу колебаний, φ₀ − начальную фазу в моментt = 0. Величина ω называется круговой или циклической частотой колебаний. Она связана с периодом колебаний T соотношением

Если смещение x(t) известно, то последовательно дифференцируя, можно найти скорость и ускорение тела:

Отсюда видно, что смещение x(t) и ускорение x''(t) удовлетворяют дифференциальному уравнению

которое наывается уравнением гармонических колебаний. Решением этого уравнения являются указанные выше функции косинус или синус.  
 
В случае груза на пружинке, возвращающая сила при малых колебаниях подчиняется закону Гука:

где k − жесткость пружины. Здесь координата x = 0 соответствует точке равновесия, в которой сила тяжести скомпенсирована начальным растяжением пружины. Тогда, согласно второму закону Ньютона, движение груза будет описываться дифференциальным уравнением

Таким образом, грузик будет  совершать незатухающие гармонические  колебания с круговой частотой

Период колебаний, соответственно, будет равен

Аналогичный анализ другой колебательной системы − математического маятника − приводит к следующей формуле для периода колебаний:

где L − длина маятника, g − ускорение свободного падения.  
 
В случае физического маятника период колебаний определяется выражением

где I − момент инерции тела относительно оси вращения, m − масса тела, a − расстояние от оси вращения до центра масс.

Затухающие  колебания

В реальных колебательных  системах всегда присутствуют силы трения или сопротивления, которые приводят к постепенному затуханию колебаний. Во многих случаях сила сопротивления (обозначим ее F_с) пропорциональна скорости движения тела, т.е.

Тогда в случае груза на пружинке при учете силы сопротивления  дифференциальное уравнение будет  записываться в виде

Введем обозначения: c/m = 2β, k/m = ω₀². Здесь ω₀ − собственная частота колебаний незатухающего осциллятора (ранее мы обозначали ее как ω), β − коэффициент затухания. В новых обозначениях дифференциальное уравнение выглядит так:

Будем искать решение этого  уравнения в виде функции

Производные, соответственно, равны

Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем алгебраическое характеристическое уравнение:

Это уравнение имеет следующие  корни:

Видно, что в зависимости  от знака подкоренного выражения   β² − ω₀² могут возникнуть три различных типа решения.      

 Случай 1. Режим апериодического затухания:   β > ω₀

В этом случае (при сильном  затухании) подкоренное выражение  положительно:  β² > ω₀². Корни характеристического уравнения действительны и отрицательны. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

где коэффициенты C₁, C₂, как обычно, зависят от начальных условий. Из полученного выражения следует, что в системе отсутствуют колебания и возврат к равновесному состоянию происходит по экспоненциальному закону, т.е. апериодически (рисунок 3).

 Случай 2. Граничный режим:  β = ω₀

В предельном случае, при   β = ω₀, корни характеристического уравнения будут совпадающими и действительными:

Здесь решение будет определяться формулой

В этом режиме величина x(t) может даже возрастать в начале процесса из-за действия линейного множителяC₁t + C₂. Но в итоге отклонение x(t) быстро уменьшается вследствие экспоненциального затухания с характерным временем τ = 2π/ω₀. Заметим, что в данном критическом режиме релаксация происходит быстрее, чем в случае апериодического затухания. Действительно, в данном режиме время релаксации будет определяться меньшим (по абсолютной величине) корнем λ₁ и будет составлять

Входящая в это выражение  функция Ф(β/ω₀) является монотонно возрастающей и всегда больше или равна 1, как видно из рисунка 4. В рассматриваемом граничном случае (случай 2) отношение β/ω₀ равно 1, а в случае апериодического затухания (случай 1) β/ω₀ > 1. Поэтому для апериодического режима затухания справедливо соотношение

Таким образом, граничный  или критический режим релаксации обеспечивает максимально быстрый  возврат системы в равновесное  состояние. Конструкции такого типа используются, например, при закрывании дверей.     

 Случай 3. Режим малого затухания:  β < ω₀

Здесь корни характеристического  уравнения являются комплексно-сопряженными:

Общее решение дифференциального  уравнения имеет колебательный  характер и записывается как

где частота колебаний ω₁ равна

Полученную формулу можно  записать в несколько другом виде:

где φ₀ − начальная фаза колебаний и Acosφ₀ − начальная амплитуда колебаний. Видно, что в этом режиме происходят классические затухающие колебания. При этом частота колебаний ω₁ меньше гармонической частоты ω₀, а амплитуда колебаний уменьшается по экспоненциальному закону  exp(− βt).

Вынужденные колебания. Резонанс

Пусть на колебательную систему  действует внешняя сила, изменяющаяся со временем по гармоническому закону с частотой ω:

В случае незатухающего осциллятора из второго закона Ньютона вытекает дифференциальное уравнение вида

В соответствии с общей  теорией, решением данного уравнения  будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.  
 
Общее решение однородного уравнения было уже получено выше. Оно записывается в виде

где амплитуда A и фаза φ₀ определяются начальными условиями.  
 
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Будем искать его в виде

Производные этой функции  равны

После подстановки в дифференциальное уравнение получаем

Следовательно, общее решение  неоднородного уравнения записывается в виде

Из этого выражения  видно, что второе слагаемое, показывающее влияние вынужденной силы, резко  возрастает при ω → ω₀. Указанное явление называется резонансом. В данной простой модели амплитуда колебаний x(t) становится равной бесконечности, если частота вынужденной силы равна частоте свободных колебаний системы.  
 
Физическая модель вынужденных колебаний получается более реалистичной, если учесть затухание колебаний. Тогда из второго закона Ньютона вытекает следующее дифференциальное уравнение:

Решение этого уравнения  также будет представляться в  виде суммы общего решения однородного уравнения ичастного решения неоднородного уравнения.  
 
Решение однородного уравнения, как показано выше, включает в себя три возможных сценария (режим апериодического затухания, граничный режим и колебательное решение в случае малого затухания).  
 
Определим частное решение неоднородного уравнения. Здесь удобнее перейти к комплексной форме дифференциального уравнения, которое запишется как

Будем искать частное решение  в виде

то есть предположим, что колебания в системе будут происходить с частотой внешней силы ω и, возможно, с некоторым сдвигом φ. В результате имеем

Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем

По формуле Муавра-Лапласа

Поэтому можно записать:

Приравнивая отдельно действительную и мнимую части, получаем

Из этой системы уравнений  мы определим коэффициент B и угол φ. Возводя обе части в квадрат и складывая, находим:

Угол φ найдем, разделив второе уравнение на первое:

Итак, частное решение  неоднородного уравнения в комплексной  форме имеет вид

где угол сдвига φ вычисляется по полученной выше формуле. Соответственно, действительная часть решения записывается как

Окончательный ответ представляет собой сумму двух членов:

где x_одн(t) − общее решение однородного уравнения, описывающего осциллятор с затуханием без действия вынужденной силы.  
 
Заметим, что вследствие затухания решение однородного уравнения x_одн(t) будет стремиться к нулю. Поэтому в установившемся режиме характер колебаний будет зависеть лишь от вынужденной силы, то есть будет определяться вторым компонентом общего решения:

где  , β − коэффициент затухания.  
 
Эта формула описывает также и явление резонанса, причем максимальная амплитуда установившихся колебаний при резонансе будет конечной и равной

Зависимость амплитуды установившихся колебаний x_max от частоты вынужденной силы ω вблизи резонананса при различных коэффициентах затухания β показана ниже на рисунке 5. Такие кривые называются резонансными кривыми.  
 
Для оценки свойств колебательной системы в окрестности резонанса используют понятие добротности. Добротность показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при резонансе превышает их амплитуду вдали от резонанса.  
 
При стремлении частоты вынужденной силы ω к нулю амплитуда колебаний механической системы приближается к  :

Поэтому добротность механической колебательной системы будет  равна

где β − коэффициент затухания.  
 
Добротность является очень полезной характеристикой. С энергетической точки зрения она показывает отношение энергии, запасенной в колебательной системе, к энергии, которую система теряет за один период колебаний.  
 
Потери энергии характеризуются также логарифмическим декрементом затухания δ. Соотношение между добротностью Q и логарифмическим декрементом затухания δ (при малых δ) выражается простой формулой:

 Пример 1

Кольцо радиуса R совершает малые колебания вокруг точки подвеса O (рисунок 6). Определить период колебаний. 

 
Решение.

Кольцо, подвешенное в  точке O, представляет собой физический маятник. Период его колебаний определяется формулой      

где I − собственный момент инерции кольца, m − масса кольца, a − расстояние от оси вращения до центра кольца.  
 
Момент инерции кольца массой m равен I₀ = mR². Поскольку расстояние от центра кольца до точки подвеса равно R, то по теореме Штейнера-Гюйгенса полный момент инерции маятника равен      

Учитывая, что a = R, получаем следующее выражение для периода колебаний:      

 Пример 2

Груз подвешен на двух последовательно  соединенных пружинах. Жесткость  одной пружины в два раза больше жесткости другой: k₂ = 2k₁. Как изменится период колебаний, если пружины соединить параллельно(рисунок 7)?

Решение.

Вычислим эквивалентную  жесткость в случае последовательного  и параллельного соединения пружин.  
 
В случае последовательного соединения сила упругости в каждой пружине равна силе тяжести (без учета веса самих пружин). Общее удлинение равно сумме удлинений каждой пружины:      

Тогда эквивалентная жесткость  равна      

При параллельном соединении удлинение обеих пружин будет  одинаковым, а полная сила упругости  будет равна сумме сил, действующих  в каждой пружине:      

Отсюда находим эквивалентную  жесткость для параллельно соединенных  пружин:      

Таким образом, период колебаний  при последовательном соединении пружин равен      

а в случае параллельного  соединения:      

Отсюда находим как изменится период колебаний при переходе от последовательного к параллельному соединению пружин:      

Учитывая, что жесткость  одной пружины в два раза больше жесткости другой, получаем:      

 Пример 3

Найти добротность осциллятора,если через 50 колебаний амплитуда смещения уменьшилась в 2 раза. 

 
Решение.

Вычислим сначала логарифмический декремент затухания δ. По определению, логарифмический декремент затухания пропорционален натуральному логарифму отношения амплитуд x₀ и x_N двух колебаний, отстоящих друг от друга на N периодов:      

В нашем случае он равен      

Тогда добротность системы будет составлять      

Шум

                Шум — беспорядочные колебания различной физической природы, отличающиеся сложностью временной и спектральной структуры.

                Первоначально слово шум относилось исключительно к звуковым колебаниям, однако в современной науке оно было распространено и на другие виды колебаний (радио-, электричество).

Классификация шумов

              Шум — совокупность апериодических звуков различной интенсивности и частоты. С физиологической точки зрения шум — это всякий неблагоприятный воспринимаемыйзвук.

              По спектру

Шумы подразделяются на стационарные и нестационарные.

              По характеру спектра

По характеру спектра  шумы подразделяют на:

• широкополосный шум с непрерывным спектром шириной более 1 октавы;
• тональный шум, в спектре которого имеются выраженные тона. Выраженным тон считается, если одна из третьоктавных полос частот превышает остальные не менее, чем на 7 дБ

              По частоте (Гц)

По частотной характеристике шумы подразделяются на:

• низкочастотный (<400 Гц)
• среднечастотный (400—1000 Гц)
• высокочастотный (>1000 Гц)

             По временны́м характеристикам

• постоянный;
• непостоянный, который в свою очередь делится на колеблющийся, прерывистый и импульсный.

             По природе возникновения

• Механический
• Аэродинамический
• Гидравлический
• Электромагнитный

Измерение шумов

             Для количественной оценки шума используют усредненные параметры, определяемыми на основании статистических законов. Для измерения характеристик шума применяются шумомеры, частотные анализаторы, коррелометры и др.

Уровень шума чаще всего  измеряют в децибелах.

             Сила звука в децибелах

• Разговор: 40—45
• Офис: 50—60
• Улица: 70—80
• Фабрика (тяжелая промышленность): 70—110
• Цепная пила: 100
• Старт реактивного самолёта: 120
• Вувузела: 130

Источники шума

                 Источниками акустического шума могут служить любые колебания в твёрдых, жидких и газообразных средах; в технике основные источники шума — различные двигатели и механизмы. Общепринятой является следующая классификация шумов по источнику возникновения: — механические; — гидравлические; — аэродинамические; — электрические.

               Повышенная шумность машин и механизмов часто является признаком наличия в них неисправностей или нерациональности конструкций. Источниками шума на производстве является транспорт, технологическое оборудование, системы вентиляции, пневмо- и гидроагрегаты, а также источники, вызывающие вибрацию.

Неакустические шумы

              Радиоэлектронные шумы — случайные колебания токов и напряжений в радиоэлектронных устройствах, возникают в результате неравномерной эмиссии электронов в электровакуумных приборах (дробовой шум, фликкер-шум), неравномерности процессов генерации и рекомбинации носителей заряда (электронов проводимости и дырок) в полупроводниковых приборах, теплового движения носителей тока в проводниках (тепловой шум), теплового излучения Земли и земной атмосферы, а также планет, Солнца, звёзд, межзвёздной среды и т. д. (шумы космоса).

Воздействие шума на человека

                Шум звукового диапазона приводит к снижению внимания и увеличению ошибок при выполнении различных видов работ. Шум замедляет реакцию человека на поступающие от технических устройств сигналы. Шум угнетает центральную нервную систему (ЦНС), вызывает изменения скорости дыхания и пульса, способствует нарушению обмена веществ, возникновению сердечно-сосудистых заболеваний, язвы желудка, гипертонической болезни. При воздействии шума высоких уровней (более 140 дБ) возможен разрыв барабанных перепонок, контузия, а при ещё более высоких (более 160 дБ) и смерть.

Гигиеническое нормирование шума

                Для определения допустимого уровня шума на рабочих местах, в жилых помещениях, общественных зданиях и территории жилой застройки используется ГОСТ 12.1.003-83. ССБТ «Шум. Общие требования безопасности», СН 2.2.4/2.1.8.562-96 «Шум на рабочих местах, в помещениях жилых, общественных зданий и на территории жилой застройки».

Нормирование шума звукового  диапазона осуществляется двумя  методами: по предельному спектру  уровня шума и по дБА. Первый метод устанавливает предельно допустимые уровни (ПДУ) в девяти октавных полосах со среднегеометрическими значениями частот 31.5, 63, 125, 250, 500, 1000, 2000, 4000, 8000 ГЦ. Второй метод применяется для нормирования непостоянных шумов и в тех случаях, когда не известен спектр реального шума. Нормируемым показателем в этом случае является эквивалентный уровень звука широкополосного постоянного шума, оказывающий на человека такое же влияние, как и реальный непостоянный шум, измеряемый по шкале А шумомера.

Нормы интенсивности шума для офисных  и производственных помещений

Подводные шумы

            В последнее время появились данные, что мощные двигатели кораблей и подводных лодок, и особенно гидролокаторы и сонары сильно мешают подводным обитателям, пользующимся гидролокационным способом общения и поиска добычи.

           Особенно страдают некоторые виды китов и дельфинов.

           Некоторые необъяснимые ранее случаи массовой гибели китов, их «выбрасывания на берег» теперь нашли объяснение. В ряде случаев явление может быть связано с военными учениями, в ходе которых млекопитающие глохнут, и теряют способность ориентироваться.

Отдельные категории шумов

• Белый шум
• Цветные шумы — некоторые виды шумовых сигналов определённые цвета исходя из аналогии между спектральной плотностью сигнала произвольной природы и спектрами различных цветов видимого света.
• Розовый шум (в строительной акустике), у которого уровень звукового давления изменяется в октавной полосе частот. Обозначение: С;
• «Шум дорожного движения» (в строительной акустике) — обычный шум оживленной магистрали, обозначение: Ctrl

Стационарный шум

               Стационарный шум — шум, который характеризуется постоянством средних параметров: интенсивности (мощности), распределения интенсивности по спектру (спектральная плотность), автокорреляционной функции.

Практически наблюдаемый  шум, возникающий в результате действия многих отдельных независимых источников (например, шум толпы людей, моря, производственных станков, шум вихревого  воздушного потока, шум на выходе радиоприёмника и др.), является квазистационарным.

Классической моделью  стационарного шума является белый шум.

Нестационарный шум

                  Нестационарный шум — шум, длящийся короткие промежутки времени (меньшие, чем время усреднения в измерителях).

                   К таким шумам относятся, например, уличный шум проходящего транспорта, отдельные стуки в производственных условиях, редкие импульсные помехи в радиотехникеи т. п.

Шумомер

Шумомер (2011)

             Шумомер — прибор для объективного измерения уровня звука. Не следует путать этот параметр с уровнем громкости. Не всякий прибор, измеряющий шум, является шумомером. Существует российские и международные стандарты, устанавливающие требования к этим приборам.

Состав

              Шумомер содержит ненаправленный микрофон, усилитель, корректирующие фильтры, детектор, интегратор (для интегрирующих шумомеров) и индикатор.

Принцип работы

               Фактически шумомер представляет собой микрофон, к которому подключен вольтметр, отградуированный в децибелах. Поскольку электрический сигнал на выходе с микрофона пропорционален исходному звуковому сигналу, прирост уровня звукового давления, воздействующего на мембрану микрофона вызывает соответствующий прирост напряжения электрического тока на входе в вольтметр, что и отображается посредством индикаторного устройства, отградуированного в децибелах. Для измерения уровней звукового давления в контролируемых полосах частот, например 31,5; 63; 125 Гц и т. п., а также для измерения уровней звука (дБА), корректированных по шкале А с учётом особенностей восприятия человеческим ухом звуков разных частот, сигнал после выхода с микрофона, но до входа в вольтметр пропускают через соответствующие электрические фильтры.

                  Общая схема шумомера выбирается так, чтобы его свойства приближались к свойствам человеческого уха.

                 Поскольку чувствительность уха зависит как от частоты звука, так и от его интенсивности, в шумомере используются несколько комплектов фильтров, отвечающих разной интенсивности шума. Данные фильтры позволяют имитировать АЧХ уха при заданной мощности звука. Эти фильтры называются А, B, C, D. Их амплитудно-частотные характеристики приведены в стандарте ГОСТ 17187-81 (соответствует отмененному МЭК 651).

                 Фильтр А примерно соответствует АЧХ «усредненного уха» при слабых уровнях шума, фильтр B — при сильных уровнях шума. Фильтр D был разработан для оценки авиационного шума.

                   В настоящее время для нормирования шума применяются только фильтры А и С (последний — для оценки пиковых уровней шума). Последние версии стандартов на шумомеры не устанавливают требований к фильтрам B и D.

                   Помимо требований к АЧХ, стандарты на шумомеры устанавливают требования к параметрам временного усреднения. В шумомерах применяется экспоненциальное усреднение F (fast), S (slow), I (Impulse). Временная константа характеристики F — 1/8 с, S — 1 c. Интегрирующие шумомеры имеют также линейное усреднение и измеряют эквивалентные уровни звука, уровни звуковой экспозиции, различные виды дозы шума и пр.

                     Децибе́л — логарифмическая единица уровней, затуханий и усилений.

Величина, выраженная в децибелах, численно равна десятичному логарифму безразмерного отношения физической величины к одноимённой физической величине, принимаемой за исходную, умноженному на десять:

где A_dB — величина в децибелах, A — измеренная физическая величина, A₀ — величина, принятая за базис.

Децибел — это безразмерная единица, применяемая для измерения отношения некоторых величин — «энергетических» (мощности, энергии, плотности потока мощности и т. п.) или «силовых»  (силы тока, напряжения и т. п.). Иными словами, децибел — это относительная величина. Не абсолютная, как, например, ватт или вольт, а такая же относительная, как кратность («трёхкратное отличие») или проценты, предназначенная для измерения отношения («соотношения уровней») двух других величин, причём к полученному отношению применяется логарифмический масштаб.

Русское обозначение единицы  «децибел» — «дБ», международное — «dB» (неправильно: дб, Дб).

Децибел не является официальной  единицей в системе единиц СИ, хотя по решению Генеральной конференции по мерам и весам допускается его применение без ограничений совместно с СИ, а Международное бюро мер и весов рекомендовала включить его в эту систему.