О надежности строительных конструкций

О НАДЕЖНОСТИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

При реконструкции здания в проектах должен предусматриваться уровень его надежности до и после реконструкции. В зависимости от качества конструкций и узлов здания выбирается тот или иной проект реконструкции. Заметим, что уже в проект нового здания закладывается определенный уровень надежности его элементов (фундаментов, несущих и ограждающих конструкций и т.п.). Обычно начальная надежность здания несколько меньше теоретической. Как уже отмечалось, с первого дня существования здания в отдельных узлах и конструкциях начинают происходить изменения, выражающиеся в ухудшении характеристик и показателей. Эти изменения по важности и интенсивности различны: одни приводят к ухудшению комфорта помещений, другие - к авариям и разрушению всего здания; одни можно быстро устранить, другие - устранить вообще невозможно; одни протекают во времени постепенно, другие - возникают внезапно, без видимых причин.

Надежность изделия – это его способность сохранять качество при определенных условиях эксплуатации. В математике под надежностью понимают вероятность того что, за заданный промежуток времени объект не выйдет из строя. Следующие из основных понятий теории надежности - отказ и безотказность. Под безотказностью понимается способность изделия сохранять работоспособность в течение определенного интервала времени в определенных условиях эксплуатации. Соответственно отказ полная или частичная потеря работоспособности. Для таких объектов, как здания и другие строительные сооружения, важнейшим понятием надежности является долговечность. Под долговечностью изделия понимают его способность к длительной эксплуатации при необходимом техническом обслуживании, в которое могут входить и различные виды ремонтов.

В настоящее время жилые и общественные здания, как и другие промышленные изделия, переживают значительное изменение масштабов сложности. Современное здание с полной уверенностью можно отнести к большим системам. Большие технические системы - это соединение значительного числа разнообразных компонент, имеющих сложную переплетающуюся связь и переменные изменяющиеся нагрузки. Среди части инженеров и ученых, занимающихся проектированием сложных систем, распространено мнение, что понятие теории надежности неприемлемо для сложных систем. Утверждается тезис, что понятие надежности сложной системы лишено смысла и надо говорить только об эффективности таких систем. Действительно, понятие качества сложной системы (например, здания), созданной для работы в меняющейся обстановке, включает в себя совокупность многих десятков, а иногда и сотен свойств, определяющих качество. Потому понятие отказа, связанное с полной или существенной потерей работоспособности системы, выглядит весьма искусственно. Более приемлемым является введение сводного показателя качества – эффективности. Другое возражение применению методов теории надежности при проектировании новых и реконструировании старых зданий состоит в следующем. Каждое здание - сложная система, состоящая из большого числа элементов, скажем п. Если Pi - надежность i-го элемента, т.е. вероятность того, что в течение данного промежутка времени элемент не выйдет из строя, то надежность здания определяется как

.

Если п велико, то даже при Pi » 1, Pi < 1 надежность всего здания Р << 1, что противоречит практике домостроения.

Обычно более надежным является изделие, работающее в мягких (благополучных) условиях эксплуатации, чем в жестких (предельных). Поэтому одним из способов повышения надежности, например в станкостроении, радиоэлектронике и т.п., является создание облегченных условий для работы изделий. Специфика здания как изделия состоит: в невозможности создания облегченных условий для работы здания в целом, хотя для отдельных узлов и элементов такая возможность имеется. Статистика показывает, что большая часть отказов и аварий происходит из-за так называемых мелочей: невыполнения всех поверочных расчетов конструкций, особенно при проектировании и при работе нескольких авторов, неаккуратности рабочих при изготовлении изделий и монтаже, отклонений от технологических режимов, неподготовленности обслуживающего эксплуатационного персонала и т.п.

В связи с этим предлагается достаточно общая математическая модель для оценки надежности сложной системы, работоспособность которой будет проиллюстрирована при оценке надежности реконструированных зданий. Рассмотрим ее на примере.

Пример. Рассмотрим систему, состоящую из двух элементов (например, элемент 1 - грунтовое основание здания, а элемент 2 - его фундаментная часть), так что фазовое пространство X является двумерным с точками (х1, х2).

Зададим различные состояния грунтов, т.е. первой координаты, следующим образом:

состояние 1 - уплотненные грунты с допустимой осадкой и равномерной осадкой здания или грунты с нарушением их физико-механических свойств, однако не вызывающим опасения неравномерных осадок здания;

состояние 2 - грунты с таким нарушением их свойств, которое вызывает опасения относительно целостности здания;

состояние 3 - грунты с таким нарушением свойств, которое обычно вызывает неравномерную осадку здания и приводит к частичному разрушению фундамента;

состояние 4 - грунты с нарушением физико-механических свойств, обычно приводящим к полной потере несущей способности фундамента.

Итак, первая координата имеет 4 возможных состояния. При этом если не производятся работы, направленные на упрочнение и укрепление оснований, такие как поверхностное и глубинное уплотнение и инъецирование, закрепление силикатизацией, цементацией и другими техническими приемами, движение процесса по первой координате возможно только в одном направлении, т.е. схематически мы можем иметь только траекторию, представленную на рис. Если, например, при достижении состояния 3 проводятся работы по упрочнению и укреплению основания, то возможен переход из состояния 3 в 2 или 1.

 

Рис. Траектория процессов для примера 1

Мы предполагаем, что время выполнения работ по укреплению грунтов весьма мало по сравнению со временем функционирования системы и даже по сравнению со средним временем движения системы из одного состояния в другое. Это позволяет не вводить дополнительную переменную в наш случайный процесс X(t), которая фиксировала бы, на какой стадии находятся реконструктивные работы в данный момент. Итак, реконструктивные работы могут быть заданы такими вероятностями:  - вероятность осуществления восстановительных работ, если первая координата находится в состоянии i; - вероятность перехода первой координаты из состояния i в состояние j £ i, если осуществляются восстановительные работы.

Переходим к определению возможных значений второй координаты (фундаменты) по состояниям: 1 - нормальное без видимых нарушений; 2 - локальные нарушения сцепления с кладочным раствором или повсеместное нарушение сцепления с кладочным раствором; 3 - сквозные трещины; 4 - потеря несущей способности (разрушение).

Итак, вторая координата нашего процесса также имеет 4 возможных значений, и если не производятся работы по усилению, восстановлению или защите фундаментов от агрессивных воздействий, движение второй координаты возможно только в одном направлении, т.е. из состояния i в состояние i + 1. Учет восстановительных работ можно проводить так же, как для координаты х, вводя соответствующие вероятности  и .

Критическое множество фазового пространства состоит из точек вида (i, 4), т.е. содержит все точки, в которых фундамент потерял несущую способность: Q = {( i,4), i = 1,2,3,4}.

Фазовое пространство X(t) состоит из 16 точек. Критическое множество содержит 4 точек.

На рис. изображена одна из возможных траекторий процессов.

 

Рис. Пример траектории процессов

Эта траектория соответствует такой ситуации: из нормального состояния грунта и фундамента (1,1) осуществляется переход в состояние, когда в грунте возникают первичные нарушения физико-механических свойств (состояние (2,1)), что приводит к локальным нарушениям сцепления с кладочным раствором в фундаменте (состояние (2,2)), далее в грунте происходят более глубокие нарушения физико-механических свойств (состояние (3,2)), что приводит к повсеместным нарушениям сцепления с кладочным раствором фундамента (состояние (3,3)) и т.д.

 

Математическая модель будет полностью определена, если будут заданы вероятностные характеристики, описывающие случайный процесс X(t). Наиболее простая модель получается при предположении экспоненциальности. Времена пребывания случайного процесса X(t) в состоянии (il,i2), коль скоро он туда попал, имеют экспоненциальное распределение с параметром a(il,i2), по истечении этого времени процесс с вероятностью р(jl,j2/il,i2) переходит в состояние (jl,j2). Математически это предположение означает, что процесс X(t) является цепью Маркова с конечным множеством состояний и поглощающим множеством состояний Q. Задача вероятности поглощения за определенное время, т.е. по существу надежности системы, может быть решена достаточно стандартными приемами, по крайней мере численно.

 

Для описания цепи Маркова удобно использовать понятия вероятностей состояний и переходных вероятностей. Поэтому введем следующие обозначения. Пусть {Sk}nk=1 — множество возможных состояний системы. Вероятность реализации              случайного события Sjk , состоящего в том, что после j этапов система находится в состоянии Sk , обозначают

 pk (j)= P[Sjk]

и называют вероятностью состояния, а

pjmk=P[sjk | sj-1m]

называют переходной вероятностью.

Плотность вероятности перехода этой системы из состояния Si в Sj в момент времени t есть число

λij(t)=lim Pij(t;  t)/  t

                                                                t→+0

Так же при анализе марковских процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой — графом состоямий, который изображает возможные состояния системы и возможные перходы этой системы из одного состояния в другое, указываемые стрелками.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Граф состояний для моего примера.

 

Где:

S1 - Грунт (Г) находится в состоянии 1, фундамент (Ф) находится в состоянии 1.

S 2  - Г в состоянии 1, Ф в состоянии 2.

S3 - Г в состоянии 1, Ф в состоянии 3.

S4 - Г в состоянии 1, Ф в состоянии 4.

S5 - Г в состоянии 2, Ф в состоянии 1.

S6 - Г в состоянии 2, Ф в состоянии 2.

S7 - Г в состоянии 2, Ф в состоянии 3.

S8 - Г в состоянии 2, Ф в состоянии 4.

S9  - Г в состоянии 31, Ф в состоянии 1.

S10 - Г в состоянии 3, Ф в состоянии 2.

S11 - Г в состоянии 3, Ф в состоянии 3.

S12 - Г в состоянии 3, Ф в состоянии 4.

S13 - Г в состоянии 4, Ф в состоянии 1.

S14 - Г в состоянии 4, Ф в состоянии 2.

S15 - Г в состоянии 4, Ф в состоянии 3.

S16 - Г в состоянии 4, Ф в состоянии 4.

Согласно графу состояний,  матрица плотностей вероятностей переходов системы из одного состояния в другое имеет вид.

   

 

Вероятности состояний системы pk(t) будут удовлетворять системе уравнений Колмогорова.

P'k(t)= ,     k= ,   t

Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном, случае вероятности состояний системы в начальный момент t= 0. Так, например, систему уравнений (9) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии S0, т.е. при начальных условиях p0(0)=1, p1(0)=p2(0)=p3(0)=0.  
Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы pi(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при t® ¥, которые называются предельными (или финальными)вероятностями состояний.  
В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.  
Предельная вероятность состояния Si имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния S0, т.е. p0=0,5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии S0.

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гмурман В.Е. Теория вероятности  и математическая статистика  В.Е. Гмурман.- М.: Высшее образование, 2008. – 478 с.

2. Арендский Е. Долговечность жилых  зданий/ Пер. с польского. - М.: Стройиздат, 1983. -255 с.

3. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев  А.Д. Математические методы в теории  надежности. - М.: Наука, 1965.

4. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова  Г.М. Случайные процессы. - М.: Изд-во МГТУ им Баумана, 2000. -448 с.

5. Райзер В.Д. Теория надежности  в строительном проектировании. -М.: АСВ, 1998. - 302 с.