.   

 Рассмотрим  выражение:

.   

 Усредняя  по большому интервалу времени  и учитывая, что , получаем:

что и требовалось  доказать. 
    Для системы материальных точек имеем:

 

    Согласно  теореме о вириале у звезды, находящейся в термодинамическом  равновесии, средняя тепловая энергия  и средняя гравитационная энергия  связаны соотношением:

Полная энергия  звезды дается выражением:

 

    Это означает, что теплоемкость звезды является  отрицательной величиной: потери  энергии на излучение не охлаждают  звезду, а, наоборот, нагревают. Действительно,  пусть звезда в результате  излучения потеряла энергию  E, тогда её тепловая энергия изменится от _тепл =  - E до _тепл = - (E - E) = - E + E, т.е. увеличится, что и приводит к увеличению температуры звезды. 
    Как звезда попадает на главную последовательность? В образующейся звезде возможны два способа переноса тепла из более горячей центральной области к холодной периферии. Первый способ - конвекция, в процессе которой горячие частицы пыли и газа перемещаются из более нагретой центральной области на периферию. Второй способ - излучение. В этом случае тепло переносится фотонами.  
    В зависимости от условий, существующих в среде, роль этих механизмов может быть различной. В процессе сжатия звезды плотность вещества звезды возрастает и конвекция становится менее эффективным способом переноса энергии и в результате светимость звезды ослабевает. Эта фаза в истории звезды называется фазой Хаяши. Для этой фазы характерно примерное постоянство температуры поверхности звезды - около 4000 K. При температуре >4000 K происходит ионизация атомов и свободные электроны начинают эффективно рассеивать излучение, т.е. под поверхностью протозвезды, находящейся при температуре выше 4000 K, излучение оказывается в ловушке. В конце фазы Хаяши в протозвезде перенос тепла от центра к периферии происходит за счет излучения. Звезда продолжает сжиматься и температура в центре звезды возрастает. Возрастает температура и на поверхности. Однако темп роста температуры в центре звезды оказывается существенно выше. При температуре несколько тысяч градусов на поверхности звезды температура в центре звезды достигает миллионов градусов. В конце фазы Хаяши звезда попадает на главную последовательность. 
    Рассмотрим два состояния вещества с полной массой M. Состояние I - это состояние когда вся масса сконцентрирована внутри шара радиуса R. Состояние II - это когда всё вещество разнесено на бесконечность. Чтобы перейти от состояния I к состоянию II необходимо затратить энергию. Вычисления, основанные на законе тяготения Ньютона, приводят к следующему выражению для гравитационной потенциальной энергии:

U_гравит

где G - гравитационная постоянная, R - радиус звезды. При этом предполагается, что вещество равномерно распределено внутри сферы радиуса R. В качестве нулевого уровня отсчета  энергии выбирается состояние II. Поэтому гравитационная потенциальная энергия должна быть отрицательной. Итак, величина полной гравитационной энергии, освобождаемой при сжатии звезды, по порядку величины равна:

 

    Для типичных  астрономических объектов эта  величина дана в табл. 6.

Таблица 6

Гравитационная  энергия типичных астрономических  объектов

 

    Итак, звезда  медленно сжимается и излучает  энергию во внешнее пространство. 
    Если светимость звезды L, то за счет гравитационного сжатия звезда может излучать в течение времени

 

    Для Солнца  можно рассчитать энергию E_гравит, которую оно излучило, сжимаясь до настоящего состояния (R =7·10¹⁰ см, M =2·10³³ г):

(E_гравит)

  =  = 2.0·10⁴⁸ эрг.   

 В настоящее  время светимость Солнца L ~ 4·10³³ эрг/с. Считая её постоянной, можно оценить время излучения Солнца за счет гравитационного сжатия:

(T_гравит)

 =     = 17 млн лет.   

 Это означает, что если бы высвобождающаяся  за счет гравитационного сжатия  энергия была единственным источником  энергии Солнца, то время его существования исчислялось бы десятками млн лет. Однако это противоречит данным геологии. Палеонтологические данные указывают на наличие на Земле примитивных форм жизни по крайней мере 3 млрд лет назад. Следовательно, должен существовать другой механизм выделения энергии в звездах. Таким механизмом является синтез легких ядер.

Определение расстояний до космических объектов.

    В астрономии нет единого универсального способа определения расстояний. По мере перехода от близких небесных тел к более далеким одни методы определения расстояний сменяют другие, служащие, как правило, основой для последующих. Точность оценки расстояний ограничивается либо точностью самого грубого из методов, либо точностью измерения астрономической единицы длины (а. е.), величина которой по радиолокационным измерениям известна со среднеквадратичной погрешностью 0,9 км. и равна 149597867,9 ± 0,9 км. С учетом различных изменений а. е. Международный астрономический союз принял в 1976 году значение 1 а. е. = 149597870 ± 2 км.

Определение расстояний до ближайших звезд.

Метод параллакса.

    Вследствие  годичного движения Земли по орбите близкие звезды немного перемещаются относительно далеких «неподвижных»  звезд. За год такая звезда описывает  на небесной сфере малый эллипс, размеры которого тем меньше, чем звезда дальше. В угловой мере большая полуось этого эллипса приблизительно равна величине максимального угла, под каким со звезды видна 1 а. е. (большая полуось земной орбиты), перпендикулярная направлению на звезду. Этот угол (p), называемый годичным или тригонометрическим параллаксом звезды, равный половине ее видимого смещения за год, служит для измерения расстояния до нее на основе тригонометрических соотношений между сторонами и углами треугольника ЗСА, в котором известен угол p  и базис – большая полуось земной орбиты (см. рис. 1).

    Расстояние r до звезды, определяемое по величине ее тригонометрического параллакса p, равно:

    r = 206265''/p (а. е.),

где параллакс p выражен в угловых секундах.

 

    Для удобства определения расстояний до звезд с помощью параллаксов в астрономии применяют специальную единицу длины – парсек (пс). Звезда, находящаяся на расстоянии 1 пс, имеет параллакс, равный 1''. Согласно вышеназванной формуле,    1 пс = 206265 а. е. = 3,086·10¹⁸ см.

    Наряду  с парсеком применяется еще одна специальная единица расстояний – световой год (т. е. расстояние, которое свет проходит за 1 год), он равен 0,307 пс, или 9,46·10¹⁷ см.

    Ближайшая к Солнечной системе звезда –  красный карлик 12-й звездной величины Проксима Центавра – имеет параллакс 0,762, т. е. расстояние до нее равно 1,31 пс (4,3 световых года).

    Нижний  предел измерения тригонометрических параллаксов ~0,01'', поэтому с их помощью  можно измерять расстояния, не превышающие 100 пс с относительной погрешностью 50%. (При расстояниях до 20 пс относительная погрешность не превышает 10%.) Этим методом до настоящего времени определены расстояния до около 6000 звезд. Расстояния до более далеких звезд в астрономии определяют в основном фотометрическим методом. 
 
 
 
 

Таблица Ошибка! Закладка не определена.. Двадцать ближайших звезд.

Фотометрический метод определения расстояний.

    Освещенности, создаваемые одинаковыми по мощности источниками света, обратно пропорциональны  квадратам расстояний до них. Следовательно, видимый блеск одинаковых светил (т. е. освещенность, создаваемая у Земли на единичной площадке, перпендикулярной лучам света) может служить мерой расстояния до них. Выражение освещенностей в звездных величинах (m – видимая звездная величина, М – абсолютная звездная величина) приводит к следующей основной формуле фотометрических расстояний r_ф (пс):

    lgr_ф = 0,2 (m – M) + 1.

    При определении r_ф по вышеназванной формуле погрешность составляет ~30%.

    Для светил, у которых известны тригонометрические параллаксы, можно, определив М по этой же формуле, сопоставить физические свойства с абсолютными звездными величинами. Это сопоставление показало, что абсолютные звездные величины многих классов светил (звезд, галактик и др.) можно оценивать по ряду их физических свойств.

    Зная  расстояния до некоторого числа звезд, вычисленные методом параллакса, можно было вычислить светимости и сопоставить их со спектром тех  же звезд, (см. рис. 2). Из диаграммы видно, что каждому определенному подклассу  звезд (например A) соответствует определенная светимость, таким образом, достаточно точно определить спектральный класс и можно выяснить ее светимость, а следовательно, и расстояние.

    Иногда  определенному классу соответствует  другая светимость, но в этом случае и спектр у них несколько другой. Спектры карликов и гигантов различаются интенсивностью определенных линий или их пар, причем это отличие можно выяснить, исследуя близко находящиеся звезды. Это отличие связано с тем, что атмосферы гигантов обширнее и разреженнее. Точность определения расстояния таким способом составляет ~20%.

 

Определение расстояния по относительным скоростям.

    Косвенным показателем расстояния до звезд  являются их относительные скорости: как правило, чем ближе звезда, тем больше смещается она по небесной сфере. Определить таким способом расстояние, конечно нельзя, но этот способ дает возможность “вылавливать” близкие звезды.

    Также существует другой метод определения  расстояний по скоростям, применимый для  звездных скоплений. Он основан на том, что все звезды, принадлежащие одному скоплению, движутся в одном и том же направлении по параллельным траекториям. Измерив лучевую скорость звезд с помощью эффекта Доплера, а также скорость, с которой эти звезды смещаются относительно очень удаленных, то есть условно неподвижных звезд, можно определить расстояние до интересующего нас скопления.