Лекция  №6. Описания методов  решения СЛАУ

1. Метод Гаусса.
2. Метод прогонки.

1.  Метод Гаусса

    Он  основан на приведении матрицы системы  к треугольному виду. Это достигается  последовательным исключением неизвестных  из уравнений системы.

    Сначала с помощью первого уравнения исключается х₁ из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается х₂ из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего ( -го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным , т.е. матрица системы будет приведена к треугольному виду.

    Обратный  ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая последнее уравнение находят единственное неизвестное . Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляют и т.д. Последним находят значение из первого уравнения.

    

    Для исключения из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на _.

    

    Затем, умножив первое уравнение на и прибавив результат к третьему уравнению, исключим из него .

    

 

    Общие формулы пересчета коэффициентов  при этом выглядят следующим образом:

    

    

    Т.е. система имеет вид

    

    Теперь из третьего уравнения системы надо исключить . Для этого надо умножить второе уравнение на и прибавить результат к третьему. В результате получится

    

    где и .

    Матрица полученной системы имеет треугольный  вид.

    В процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на коэффициенты , и т.д. Поэтому они должны быть отличными от нуля. В противном случае необходимо соответствующим образом переставить уравнения системы. Диагональные элементы матрицы обычно называют ведущими или главными элементами.

    Обратный  ход начинается с решения третьего уравнения системы

    

    Используя это значение, можно найти х₂ из второго уравнения, а затем х₁ из первого:

    

    Аналогично  строится вычислительный алгоритм для  линейной системы с произвольным числом уравнений. При этом расчетные  формулы принимают вид:

    Прямой  ход метода Гаусса

    

, , где

    

    В этих формулах номер неизвестного, которое исключается из оставшихся уравнений (а также номер того уравнения, с помощью которого исключается x_k); номер уравнения, из которого исключается неизвестное ; номер столбца.

    Обратный  ход метода Гаусса

    

; , где .

В этих формулах номер неизвестного, которое определяется из го уравнения; номера уже найденных неизвестных.

          Одной из модификаций  метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Она состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов на которые происходит деление в процессе исключения, заменяется более жестким: из всех оставшихся в ом столбце элементов нужно выбрать наибольший по модулю и переставить уравнение так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента .

    Благодаря выбору наибольшего по модулю ведущего элемента уменьшаются множители, используемые для преобразования уравнений, что способствует снижению погрешностей вычислений.

    Объем вычислений определяется порядком системы  :число арифметических операций примерно равно .

2. Метод прогонки

    Многие  прикладные задачи сводятся к системам ЛАУ, имеющих так называемые диагональные матрицы.

    Матрица называется диагональной, если все элементы матрицы равны нулю кроме элементов, стоящих на главной диагонали и некоторых диагоналях, параллельных главной.

    Метод прогонки является методом последовательного исключения для систем ЛАУ, имеющих трехдиагональную матрицу. Как и все методы исключения он имеет прямой и обратный ход.

      Прямой  ход:

Шаг 1: ,  где ,  .

Шаг 2: подставим  во 2-е уравнение системы

,

,

Выразим : 

; ; и т.д.

Шаг :

 

После прямого хода система принимает вид:

      Обратный  ход:

Шаг 1: Из 2-х последних уравнений выражаем через :

.

Шаг 2: Подставляя в уравнение находим и т.д.