Контрольная работа по "Статистика"

где n — число вариантов; П — знак произведения.

Наиболее  широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних  темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

Средняя квадратическая и  средняя кубическая

    В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

    Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы  квадратов отдельных значений признака на их число:

     ,

    где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число.

    Средняя квадратическая взвешенная:

     ,

    где f-веса.

    Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы  кубов отдельных значений признака на их число:

     ,

    где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число. 

    Средняя кубическая взвешенная:

     ,

    где f-веса.

  Структурные средние.

 

     Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана.

Мода – значение случайной величины встречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду это вариант имеющий наибольшую частоту.

В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим товар А реализуют в г.Ижевске 9 фирм по цене в рублях:

44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;

Так как  чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.

В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле

,

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным.

Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица 4) 

Распределение предприятий  по  численности  промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными: 

Таблица 4

 

В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем  следующие обозначения:

=400, =100,  =30, =7, =19

Подставим эти значения в формулу моды и  произведем вычисления:

Мода  применяется для решения некоторых  практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.

     Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.

В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14-го,  если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.

В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:

, где 

x₀ - нижняя граница медианного интервала;

i_Me - величина медианного интервала;

S_me-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

f_Me - частота медианного интервала.

Распределение предприятий  по  численности промышленно - производственного  персонала характеризуется  следующими данными:

Таблица 5

 

Определим прежде всего медианный интервал.  В данной задаче сумма накопленных  частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500.  Это и есть медианный  интервал,  в  котором находится  медиана.  Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что:

Следовательно,

.

Cоотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если M₀<Me< имеет место правосторонняя асимметрия. Если же <Me<M₀ - левосторонняя асимметрия ряда. По приведенному примеру можно сделать заключение, что наиболее распространенная численность рабочих является порядка 467,6 чел. В то же время более половины предприятий имеют численность рабочих более 496,6 чел., при среднем уровне 510 чел. чел. Из соотношения этих показателей следует сделать вывод о правосторонней асимметрии распределения предприятий по  численности промышленно - производственного персонала.

Мода  и медиана в отличие от степенных  средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

Мода  и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

Мода  и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Аналогично  медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части — квартели, на пять равных частей — квинтели, на десять частей — децели, на сто частей — перцентели. 
 
 
 

Расчётная часть. 

 Задание: составить задачи  с расчетами  на  среднюю арифметическую,  среднюю по интервальному вариационному ряду, моду,  медиану. 

Данные Госкомстата по УР. На 01.01.2009 г. 
 
 

Задача №1. Рассчитать средний прожиточный минимум на 1 чел., исходя из приведенных данных 

Величина  прожиточного минимума за 3 квартал 2009г. руб/мес. 
 

Таблица 6

 
 

Средний прожиточный минимум по областям РФ.

 

 
 

1. Находим

  х1 =  8492 +5124 + 6391    = 6 669 руб.в мес ( на 1 чел.по

                        3                                   г. Москва)                              

  аналогично :

                      х2 =3943,6     х4=6333      

                        х3 =4150        х5 =4775,6       х6=10472,3

                

2. Находим средний прожиточный минимум по данным областям РФ

 

   х = 6669+3943,66+4150+6333+4775,66+10472,33 = 6057,25

                                            6 

Вывод: средний прожиточный минимум по данным областям РФ составляет в среднем 6057,25 руб /мес 
 

Задача №2. 

Численность населения  в городах Удмуртии на 1 .01 2009 г.составила 

 

Определить среднюю численность населения в городах Удмуртии

а) включая Ижевск

б) без жителей  Ижевска 

 

а)    х =   96,6+97,1 +49,7 +98,8 +12,3 + 611    =    158,8  тыс. чел.

                     6

                        

б) 96,9 + 97,1 +49,7 + 98,8 + 12,3   =   17,3 тыс. чел.

                                      5

Задача №3. 

Рассчитать  средний возраст  трудоспособного  населения.