Численное решение дифференциальных уравнений

2011024783,Мамедов Д.Н.,КР.

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования  «Тихоокеанский государственный университет»

Факультет экономики  и управления

Кафедра «Экономическая кибернетика»

 

 

 

 

Курсовая работа на тему:

Численное решение дифференциальных уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

                                     Выполнил: Мамедов Д.Н.

                              Группа: ПИЭ-11

         Проверила: Матафонова А.Н.

 

 

 

 

Хабаровск 2013 Г

 

Содержание.

 

Индивидуальное задание.

1.Решить задачу Коши методом Эйлера-Коши.

Дифференциальное  уравнение  , начальное условие , интервал [2,2.7]  и шаг h=0.1.

2.Оценить погрешность  вычислений при решении задачи  Коши.

3. Построить  график решения дифференциального  уравнения.

4. По узлам  с чётными номерами таблицы  построить интерполяционный многочлен  Лагранжа, с помощью которого  сгустить таблицу в пять раз,  то есть увеличить количество  расчетных значений таблицы в  пять раз.

5. Рассчитать  погрешность интерполирования.

6.Построить графики решения дифференциального уравнения и интерполяционного многочлена в одних осях.

7.Аппроксимировать  решение дифференциального уравнения  методов наименьших квадратов.

8.Рассчитать  погрешность аппроксимации.

9.Построить графики решения дифференциального уравнения            интерполяционного многочлена и аппроксимирующей функции в одних осях.

  10. Провести анализ полученных результатов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Решение дифференциального  уравнения методом Эйлера-Коши.

  1.1.Краткая теория.

В соответствии с постановкой задачи нужно найти решение дифференциального уравнения первого порядка, т.е. найти такие решения y(x), которые превратили бы дифференциальное уравнение в тождество. Но так как таких решений множество, заданы начальные условия - значения функции y(x) в точке x₀, т.е. y(x₀) = y₀, а так же интервал [ x₀ - x_n ].

Рис. 1. показывает, что с помощью  начальных условий из множества  решений можно выбрать одно.

                             

Рис 1. Множество решений дифференциального  уравнения.

 

  Метод Эйлера - Коши - наиболее точный метод решения дифференциального уравнения (второй порядок точности). Этот метод предполагает следующий порядок вычислений:

y_i+1* = y_i + h f( x_i ; y_i ), где i = 0,1,2 ... n

y_{i+1 =} y_i + h (f( x_i ; y_i ) + f( x_i+1 ; y_i+1*)) / 2

Число значений n можно найти, разделив интервал на шаг:

                     n = (x_n - x_o) / h                    

Геометрически это означает, что  определяется направление касательной к интегральной кривой в исходной точке х_i,y_i  и во вспомогательной точке х_i+1,y_i+1*, а в качестве окончательного направления берется среднее этих направлений (показано пунктирной линией на рис. 2)

                             

Рис.2. Графическая интерпретация  метода Эйлера - Коши.

            

Решение y_i+1, найденное методом Эйлера - Коши, намного ближе к точному решению, чем решение y_i+1*, найденное методом Эйлера. Погрешность метода пропорциональна шагу h во второй степени, т.е. метод Эйлера - Коши имеет второй порядок точности.

1.2. Пример расчета решаемой задачи.

Дана задача Коши

-начальные условия на интервале  с шагом h=0,1.

Необходимо  найти решение задачи Коши методом  Эйлера-Коши     Воспользуемся для этого расчетными формулами (4).

                                                        

Тогда

Повторяя  процесс вычислений, получим таблицу  значений (х_ь y_t) решения задачи Коши.

i	xi	yi(h)	y*
0	2	2,5
1	2,1	2,472452	2,468917
2	2,2	2,451842	2,448163
3	2,3	2,438425	2,434626
4	2,4	2,432407	2,428518
5	2,5	2,433924	2,429982
6	2,6	2,443035	2,439083
7	2,7	2,459711	2,455796

 Погрешность  метода Эйлера-Коши находится  по формуле:

, где р - порядок точности(для метода Эйлера-Коши р =2)

e(xi)	yi(h/2)	yi(h)
0	2,5	2,5
0,008526	2,446873	2,472452
0,013716	2,410694	2,451842
0,015985	2,390471	2,438425
0,015669	2,385401	2,432407
0,013062	2,394739	2,433924
0,008448	2,41769	2,443035
0,002123	2,453341	2,459711

 

 

График решения  дифференциального уравнения .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Интерполяционный многочлен  Лагранжа.

2.1.Краткая теория.

Решение системы уравнений  можно представить в форме интерполяционного многочлена Лагранжа:

. 

В частном случае n=1 (линейная интерполяция)

, 

а при n=2

.

Нетрудно заметить, что структура этих формул такова, что для каждой узловой точки x=x_j из входящих в набор используемых формулой узловых точек, только одно слагаемое отлично от нуля и именно то, в которое входит y_j. Кроме того, дробь, входящая в это отличное от нуля слагаемое, при x=x_j равна единице. Поэтому .

Непосредственное  применение формулы Лагранжа приводит к большому числу однотипных вычислений. Организация вычислений существенно  улучшается, если пользоваться специальной вычислительной схемой.

В таблице 1 показано построение такой схемы для 3 узлов. Таблица составляется заново для каждого нового значения аргумента х.

Заполнение  таблицы начинается с того, что  вычисляются и заносятся в  соответствующие клетки все элементарные разности. Вслед за этим вычисляются произведение Р_i  разностей по строкам.

P₀=(x-x₀)(x₀-x₁)(x₀-x₂);

P₁=(x₁-x₀)(x-x₁)(x₁-x₂) и т.д.

Таблица 1

x	X0		X1	X2	Pi	yi	yi/ Pi
X0	x-x0		x0-x1	x0-x2
X1	x1-x0		x-x1	x1-x2
X2	X2-x0		X3-x1	x-x2

Отсюда формула  Лагранжа принимает вид:

,

где - это произведение диагональных разностей.

2.2.Пример расчета решаемой задачи.

 

 

 

 

 

Возьмем таблицу  значений нашей функции.

i	xi	yi(h)
0	2	2,50
1	2,1	2,472452
2	2,2	2,451842
3	2,3	2,438425
4	2,4	2,432407
5	2,5	2,433924
6	2,6	2,443035
7	2,7	2,459711

 

 

 

Построим таблицу элементарных разностей .

Таблица 2

 

2,04	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	Pi	yi	yi/Pi
x0	0,04	-0,1	-0,2	-0,3	-0,4	-0,5	-0,6	-0,7	-2E-05	2,5	-124007,937
x1	0,1	-0,06	-0,1	-0,2	-0,3	-0,4	-0,5	-0,6	-4,3E-06	2,472452	-572326,921
x2	0,2	0,1	-0,16	-0,1	-0,2	-0,3	-0,4	-0,5	3,84E-06	2,451842	638500,4041
x3	0,3	0,2	0,1	-0,26	-0,1	-0,2	-0,3	-0,4	-3,7E-06	2,438425	-651288,791
x4	0,4	0,3	0,2	0,1	-0,36	-0,1	-0,2	-0,3	5,18E-06	2,432407	469214,2689
x5	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	-0,46	-0,1	-0,2	-1,1E-05	2,433924	-220464,088
x6	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	-0,56	-0,1	4,03E-05	2,443035	60591,1418
x7	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	-0,66	-0,00033	2,459711	-7394,51346
											-407176,435

В таблице 2 показаны элементарные разности для значения x=2.04. Найдем значение интерполяционного многочлена в этой точке по формуле:

Вычисляя многочлен  во всех узлах с четными номерами, получаем таблицу 3.

Таблица 3

i	xi	Ln
0	2	2,50
2	2,04	2,488167
4	2,08	2,477416
6	2,12	2,467766
8	2,16	2,459236
10	2,2	2,451842
12	2,24	2,445599
14	2,28	2,440522
16	2,32	2,436624
18	2,36	2,433916
20	2,4	2,432407
22	2,44	2,432104
24	2,48	2,433013
26	2,52	2,435138
28	2,56	2,438479
30	2,6	2,443035
32	2,64	2,448802
34	2,68	2,455775

 Погрешность  интерполяционного многочлена Лагранжа  вычисляется по формуле:

ε(x_i)= (Таблица 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ln	yi	ε(xi)
2,50	2,50	0
2,488167	2,444196	0,043971
2,477416	2,39968	0,077736
2,467766	2,364895	0,102871
2,459236	2,338629	0,120607
2,451842	2,319923	0,131919
2,445599	2,308001	0,137598
2,440522	2,302223	0,138299
2,436624	2,302044	0,13458
2,433916	2,306987	0,126929
2,432407	2,31662	0,115787
2,432104	2,330544	0,10156
2,433013	2,348381	0,084632
2,435138	2,369769	0,065369
2,438479	2,394356	0,044122
2,443035	2,421802	0,021233
2,448802	2,451775	0,002973
2,455775	2,483959	0,028184