Базисные коммутаторы

  Министерство  образования, науки, молодежи и спорта Украины.

  Донецкий  национальный университет 
 
 
 
 
 
 

  Реферат

  По  теме:

  Базисные  коммутаторы

  Выполнил:

  Студент группы 3-Б

  Щедловский  Кирилл

  Проверил : Лиманский В.В. 
 
 
 

  2011

  Содержание

1. Собирательный процесс………………………………………..3
2. Формула Вита теорема о базисе……………………………….7
3. Список литературы……………………………………………14

 

 
 

1. Собирательный процесс

Рассмотрим формальные слова, или цепочки, b₁b₂…b_n где каждый символ b представляет одну из букв x₁x₂...x_r. Определим также формальные коммутаторы c_j и их веса следующим образом:

1. c_i= x_i, i=1, ... r — коммутаторы веса 1, т. е. = 1,
2. если c_i и c_j — коммутаторы, то и c_k=(c_i, c_j) ─ коммутатор и

  Отметим, что, согласно этому определению, существует только конечное число формальных коммутаторов заданного веса. Упорядочим коммутаторы, располагая сначала c_i= x_i, i=1, ... r, а затем все остальные коммутаторы в порядке возрастания их весов, причем порядок среди коммутаторов одного и того же веса произволен.

  Будем говорить, что слово  , составленное из коммутаторов, собрано, если коммутаторы расположены в порядке возрастания индексов слева направо¹). Произвольное слово из коммутаторов:

содержит, вообще говоря, собранную часть где j = m+1, … , n, и несобранную часть j = m+1, … , n, и несобранную часть где i_m+1 уже не наименьший из индексов j = m+1, … , n. Собранная часть слова пуста, если только — i₁ не наименьший из индексов Определим собирательный процесс для слов

из коммутаторов. Пусть с_u — коммутатор с наименьшим индексом в несобранной части слова, и пусть — первое вхождение с_u в несобранную часть. Заменим тогда:

Словом

При этом коммутатор с_j сдвинется на одно место влево и появится новый коммутатор который по весу больше, чем

     Таким образом, и после указанного преобразования . останется коммутатором с наименьшим индексом в несобранной части. После конечного числа таких шагов коммутатор с,-займет (m+1)-е место и станет элементом собранной части. Так определенный собирательный процесс, вообще говоря, не будет обрываться, так как на каждом шаге вводится новый коммутатор.

Пусть x₁….x_r —образующие элементы группы F (мы будем в основном рассматривать случай, когда группа F — свободная группа с образующими x₁,x₂,….,x_r), и пусть тогда

(1.2)

и мы видим, что собирательный процесс не изменяет элемент группы, представленный словом. При нашем определении  собирательный процесс применим не ко всем словам, а только к так называемым положительным словам, т. е. к словам, составленным из букв x_i и не содержащим букв вида x_i^-1. Ниже мы освободимся от этого ограничения.

В ходе собирательного процесса, примененного к положительным словам, возникают не любые коммутаторы. Так, например, коммутатор (x₂,x₁) может возникнуть, а коммутатор (x₁,x₂) возникнуть не может, так как буква x₁ собирается до x₂. Коммутаторы, которые действительно могут возникнуть в собирательном процессе, называются базисными. Дадим формальное определение базисных коммутаторов группы F с образующими  x₁, x₂, … x_r

Определение базисных коммутаторов:

1. c_i=x_i i=1… r— базисные коммутаторы веса один =1.
2. Пусть базисные коммутаторы весов, меньших n, уже определены. Тогда базисными коммутаторами веса n являются коммутаторы c_k=(c_i,c_j), где
1. c_i и c_j — базисные коммутаторы и
2. c_i > c_j а если с_i= (с_s,c_t) c_j>c_t
3. Коммутаторы веса n следуют за коммутаторами весов меньших n и между собой они упорядочены произвольным образом. Базисные коммутаторы считаем пронумерованными так что они упорядочены по индексам.

  Заметим, что если коммутаторы упорядочены по весам, a в остальном — произвольным образом, то собирательный процесс, примененный к положительным словам, дает только базисные коммутаторы. Например, при замене

  1.3

мы собираем c_v до с_u, откуда с_u> c_v, а если с_u= (с_s,c_t) это означает, что буква c_t собиралась до c_v, откуда c_v>c_t.

  Мы покажем  сейчас, что по модулю Г_k+1(F), где Г_k+1(F) ─ k+1-й член нижнего центрального ряда группы F, обозначаемый также F_k+1 (k — любое число), произвольный элемент может быть представлен в виде

   1.1.4

где с₁ c_t — базисные коммутаторы весов 1,2…k

  В ходе собирательного процесса имеем

vu=uv(v,u) (1.5)

где и,v и (v, и) — базисные коммутаторы. Мы должны также ' рассмотреть выражения vu^-1, v^-1u^-1 и v^-1u. При этом vu^-1=u^-1v(v,u^-1) следовательно имеем

1=(v,uu^-1)=(v,u)(v,u^-1)=(v,u,u^-1) (1.6)

откуда

(v,u^-1)=(v,u,u^-1)^-1=(v,u)^-1

Аналогично

(v,u,u^-1)=(v,u,u,u^-1)^-1=(v,u,u)^-1

Положив v₀=v и v_t+1=(v_t,u) получим

(1.7)

Если  здесь коммутатор v₁ = (v, и) базисный, то и v₂ v₃, ...— также базисные коммутаторы. По модулю F_k+1 мы можем пренебречь коммутатором (v_s,u^-1), если индекс s настолько велик, что вес этого коммутатора не меньше k + 1. Следовательно, в качестве элементарного этапа собирательного процесса мы допускаем следующую замену:

(1.8)

Аналогично v^-1u=uv^-1(v^-1,u) получаем 1=(vv^-1,u)=(v,u)(v,u,v^-1)=(v^-1,u) откуда, полагая , имеем

. (1.9)

Имеет место  тождество v^-1u^-1=u^-1(v^-1,u,u^-1), а из (1.1.8) получаем

, (1.10)

откуда

. (1.11)

Повторное применение замен (1.5, 8, 9, 11) приводит к записи (1.4) произвольного элемента f группы F в виде слова из базисных коммутаторов.

  Если F — свободная группа с образующими x₁, x₂, … x_r, то при заданной нумерации базисных коммутаторов запись (1.4) единственна. В частности, базисные коммутаторы веса k образуют свободный базис факторгруппы   являющейся, следовательно, свободной абелевой группой. Это обстоятельство, конечно, оправдывает термин базисный в применении к этим коммутаторам.

2. Формула Витта.  Теорема о базисе

  Предположим, нам дана последовательность базисных коммутаторов c₁,c₂… состоящих из образующих x₁x₂...x_r. Назовем произведение базисных коммутаторов

 (2.1)

базисным, если слово (2.1) собрано, т. е. если . Для произведения коммутаторов р=а₁а₂…а_n произвольного вида мы определим понятие веса . Собирательный процесс изменяет вес произведения. Мы определим сейчас аналогичный процесс — процесс заключения в скобки, не меняющий веса произведения. Если и, v и (и, v) — базисные коммутаторы, то слово ... uv ... заменяется на ... (и, v) ... в отличие от собирательного процесса, где слово ... uv ... заменяется произведением ...vu(u, v)…

  Теорема 2.1. Число базисных произведений веса n, составленных из образующих x₁x₂...x_r равно rⁿ.

  Доказательство. Для всех k=1, 2, ... определим семейство P_k= всех произведений a₁a₂…a_t веса п (где a_t—базисные коммутаторы) вида где и для каждого коммутатора =(c_u , c_v) коммутатор c_v предшествует c_k. Таким образом, P_k можно рассматривать как семейство слов, в которых коммутаторы c₁,…,c_k-1 собраны, a c_k еще не собраны. Обозначим число таких произведений семейства P_k через . Ясно, что Р₁ — семейство всех произведений п образующих x_i, откуда . Можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами семейств P_k и P_k+1 Действительно, если — произведение из семейства P_k, то коммутатор следует за c_k и хотя в произведении могут встречаться цепочки коммутаторов c_k в несобранной части, каждой такой цепочке непосредственно предшествует коммутатор c_y где у > k. Ко всем подобным цепочкам

применим  операции заключения в скобки, заменив  их выражениями , и так как при условии c_y=(c_u,c_v), >v, то вновь возникающий коммутатор будет опять базисным и будет следовать за c_k. Указанное преобразование дает однозначно определенное произведение из семейства P_k+1. Обратно, если в произведении из семейства P_k+1 убрать все скобки, заключающие коммутатор c_k, то мы получим однозначно определенное произведение из семейства P_k. Следовательно, откуда для любого k имеем |P_k|=|Р₁|=rⁿ. Но при достаточно большом k семейство P_k состоит из всех базисных произведений веса п. Этим теорема доказана.

  С помощью теоремы 2.1 можно найти число базисных коммутаторов веса n, и, даже более того, можно найти число базисных коммутаторов с заданными весами относительно каждого образующего. Определим вес , следующим образом: , а далее по правилу . Пусть М _r(n)— число базисных коммутаторов веса п от r образующих x₁, x₂, … x_r, и пусть M(n₁,n₂,….,n_r)— число таких коммутаторов с, что , причем . Тогда имеет место следующая теорема.