Алгебраические структуры: группы, кольца и поля

Оглавление

Введение…………………………………………………………...3

I Множества и отношения………………………………………………4

§1 Множества и операции над ними…………………………………...…..4

§2 Бинарные отношения…………………………………………………….6

§3 Функции…………………………………………………………………..8

§4 Отношение эквивалентности и отношение порядка………………….11

II Алгебры и алгебраические системы……………………………...13

§1 Бинарные операции……………………………………………………..13

§2 Алгебры………………………………………………………………….15

§3 Группы…………………………………………………………………...17

§4 Кольца……………………………………………………………………18

§5 Алгебраические системы……………………………………………….20

III Основные числовые системы………………………………..........21

§1 Система натуральных чисел……………………………………………21

§2 Кольцо целых чисел…………………………………………………….26

§3 Поле рациональных чисел. Поля………………………………………27

§4 Система действительных чисел………………………………………..28

§5 Поле комплексных чисел……………………………………………….30

Заключение……………………………………………………….……….32

Литература………………………………………………………………...33 
Введение

Основные алгебраические структуры, с которыми мы встретимся при изложении курса и при решении задач. Детальное знакомство с ними будет происходить по мере нашего продвижения и накопления фактического материала. Преимущество работы с абстрактными математическими понятиями может быть оценено лишь при необходимости рассматривать многочисленные частные примеры.

Предмет алгебры существенно менялся с течением времени: арифметические действия над натуральными и положительными рациональными числами в глубокой древности (3 век н. э.); алгебраические уравнения первой и второй степени (9 век); появление алгебраической символики (15 - 17 века); к 18-му веку алгебра сложилась в том объеме, который сейчас принято называть "элементарной алгеброй"; в 18-19 веках алгебра - это прежде всего алгебра многочленов; с середины 19-го века центр тяжести алгебраических исследований перемещается на изучение произвольных алгебраических операций.

Изучение алгебраических структур (т. е. множеств с определенными на них операциями) было подготовлено развитием числовых систем (построением комплексных чисел и кватернионов), созданием матричного исчисления, возникновением булевой алгебры, внешней алгебры Грассмана, исследованием групп подстановок. Таким образом, к 20-му веку сформировалась точка зрения на современную алгебру как на общую теорию алгебраических операций (под влиянием работ Д. Гильберта, Э. Артина, Э. Нетер и с выходом в 1930 г. монографии Б. Л. Ван Дер Вардена "Современная алгебра").

 

 

I Множества и  отношения

 

§1 Множества и операции над ними

Под множеством понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как одно целое. Понятие множества принимается как исходное, первичное, т.е не сводимое к др. понятиям.

Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами. Символ () называется знаком принадлежности. Утверждения «Объект а есть элемент множества А», «Объект а принадлежит множеству А», которые имеют один и тот же смысл, сокращенно записывают  в виде аА.

Два множества А и В называются равными и пишут А=В, если А и В содержат одни и те же элементы.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. Если А есть подмножество множества В, то говорят также, что А содержится в В, и пишут АВ. Символ называется знаком включения. Множество А называется собственным подмножеством множества В, если АВ и А≠В.

Множество, не содержащие ни одного элемента, называется пустым множеством, такое множество единственно. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Рассмотрим операции над множествами, с помощью которых можно получать из любых двух множеств новое множество.

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В. Такое множество всегда существует и оно единственно.

Объединение множеств А и В обозначается АВ.

АВ={х хА V хВ}.

Из определения объединения множеств следует, что ААВ и ВАВ.

Пример: Если А={1, 9, 18} и В={1, 5, 9}, то АВ={1, 5, 9, 18}.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В. Такое множество всегда существует и оно единственно.

 Пересечение множеств А и В обозначается А∩В.

А∩В={х |хА Λ хВ}.

Из определения пересечения множеств следует, что А∩ВА и А∩ВВ.

Пример: Если А{3, 7,11}, В={1, 3,6, 11, 16}, то А∩В={3, 11}.

Разность множеств А и В называется множество, элементами которого являются элементы множества А, не принадлежащие множеству В, и только они. Такое множество существует и оно единственно.

Разность множеств А и В обозначается А\В.

А\В={х | хА Λ хВ}.

Пример: Если А={1, 4, 7, 9}, В={2,4,5}, то А\В={1, 7,9}.

Теорема 1: Для любых множеств А и В эквивалентны три соотношения:

1. АВ;               (2) АВ=В;           (3) А∩В=А.

Основные свойства операций над множествами. Операции объединения и пересечения над множествами обладают рядом свойств; основные, наиболее важные свойства этих операций.

Теорема 2: Для любых множеств А, В, С имеем:

1. АА=А – идемпотентность объединения;
2. А∩А=А – идемпотентность пересечения;
3. АВ=ВА – коммутативность объединения;
4. А∩В=В∩А – коммутативность пересечения;
5. А(ВС)=(АВ)С – ассоциативность объединения;
6. А∩(В∩С)=(А∩В)∩С – ассоциативность пересечения;
7. А(В∩С)=(АВ)∩(АС) – дистрибутивность объединения относительно пересечения;
8. А∩(ВС)=(А∩В)(А∩С) – дистрибутивность пересечения относительно объединения.

Доказательство: Первые четыре свойства легко следуют из определения операций объединения и пересечения. Для того что бы доказать (5), достаточно заметить, что А(ВС) есть множество элементов, принадлежащих множеству А, или множеству В, или множеству С, и множеству (АВ)С состоит из тех же элементов. Аналогично доказывается свойство (6). Докажем свойство (7). Пусть D= А(В∩С), E=(АВ)∩(АС). Надо доказать, что множества D и E равны, т.е (а)если хD, то хE; (b) если хE, то хD. Пусть хАU(В∩С). Тогда возможны два случая: (а1) хА и (а2) хВ∩С. В случае (а1), хАUВ и хАС;следовательно хE. В случае (а2) хВ и хС, так что хАВ и хАС; следовательно, хE. Предположим теперь, что хE, т.е х(АВ)∩(АС), тогда хАВ и хАС. При этом если хА, то хВ и хС, так что хВ∩С; следовательно, хА(В∩С), т.е. хD. Из (а) и (b)следует равенство (5). Свойство дистрибутивности (8) доказывается аналогично.

Для графического изображения множеств и их свойств используются так 

называемые диаграммы Эйлера, которые называются также диаграммами Венна. Множество изображается кругом (или другой связной фигурой) на плоскости и мыслится как множество точек круга. Если изобразить кругами множества A и B, то множества и изобразятся заштрихованными областями (рис. 1 и 2). Множества А\В и В\А изобразятся соответственно на диаграммах (рис. 3 и 4). Отношение A В изображено на рис. 5. Универсальное множество U изображается множеством точек некоторого прямоугольника. Дополнение А` множества А до U изображается на рис. 6.

 

 

§2 Бинарные отношения

Пусть даны какие-нибудь объекты a и b. Если a≠b, то множество {a,b}называется неупорядоченной парой объектов a и b. Всегда выполняется {a,b}={b,a}.

Новое исходное понятие – понятие упорядоченной пары. Любым двум объектам a и b поставим в соответствие новый объект – их упорядоченную пару <a,b>.

Упорядоченные пары <a,b> и <c,d> называются равными и пишут <a,b>=<c,d>  в том и только в том случае, когда.a=c и b=d. В частности, <a,b>=<b,a> в том и только в том случае, когда a=b.

В дальнейшем часто будем говорить «пара <a,b>» вместо «упорядоченная пара <a,b>». Элемент a называется первым элементом пары <a,b>, а b – вторым элементом пары.

Прямым произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар <x,y> таких, что xϵA и yB. Это множество обозначается A×B. A×B={<x,y> ǀ xA˄yB}.

Обобщением понятия упорядоченной пары является понятие кортежа (упорядоченного набора) n объектов. Кортеж n объектов a1, . . . , an обозначится через < a1, . . . , an >.

Два кортежа <a1, . . . , an> и <b1, . . . ,bn> называют равными и пишут <a1,...,an>=<b1,...,bn> в том и только в том случае, когда a1=b1, . . . , a n=bn.

Пример: Равны ли кортежи . Так как нам не сказано что a=b, тогда следует то что кортежи не равны так как место в кортеже всегда имеет значение.

Кортеж трех объектов называют также упорядоченными тройками. Прямым произведением трех множеств A,B и C называется множество всех таких упорядоченных троек <x,y,z>, что xA, yB, zC. Это множество обозначается через A×B×C. A×B×C={<x,y,z> ǀ xA, yB, zC}.

An={<x1,…, xn> ǀ x1A, …, xnA}

Прямым произведением n множеств A1, …, An называется множество всех кортежей длины n <x1,…, xn> таких, что x1A, …, xn A.

Пример: Чему равна длина кортежа ? Так как кортеж состоит из 3 элементов, то и длина кортежа будет равняться 3.

Бинарными отношениями называется любое множество упорядоченных пар, является любое подмножество прямого произведения двух множеств.

Если R – бинарное отношение и <x,y> R, то говорят, что x и y связаны отношением R, или что элемент x находится в отношении R к y, или что для x и y выполняется отношение R. Вместо записи <x,y> R часто используют другую запись.

Множество всех первых элементов пар из R называется областью определения отношения R и обозначается Dom R:Dom R={x | y(<x,y>R)}

Множество всех вторых элементов пар из R называется областью значений отношения R и обозначается Im R:Im R={y | x(<x,y>R)}

Множество Dom R U Im R называется областью отношения R.Легко увидеть что:RDom R×Im R.

Если RA×A, то говорят, что R есть бинарное отношение на множестве А. Ясно, что каждое бинарное отношение R является отношением на области отношения R.

Бинарные отношения R и S называются равными, если для любых х, у  <x,y> ϵ R тогда и только тогда, когда <x,y> ϵS, т.е. если R и S равны как множества.

Пусть R и S – бинарные отношения. Множество всех пар <x,y> таких, что для некоторого z <x,z> ϵS и <z,y> ϵR, называется композицией (или суперпозицией) отношений R и S и обозначается через RS

По определению, имеем: RS = {x, y)|z(xSz/\zRy)}.

Инверсией бинарного отношения R называется множество всех упорядоченных пар (х, у) таких, что (у,х)R. Инверсия отношения R обозначается через . Таким образом, по определению = {<x,y>|<y,x> R}.

Композиция отношений обладает свойством ассоциативности, т. е. для любых бинарных отношений R, S, Т

(RS)T = R(ST).

Для любых бинарных отношений R и S выполняется:

=.

n-местным отношением (n1) называется любое множество кортежей длины n (т. е. любое множество упорядоченных наборов n объектов). Таким образом, n-местным отношением является всякое подмножество прямого произведения n множеств.

Пусть Аn есть n-я степень непустого множества А, n1. Любое подмножество множества Аn называется n-местным отношением на множестве А, а число n —рангом отношения. Пусть А(х1, ... , xn) — произвольный n-местный предикат со свободными переменными х1, ... , xn . С ним можно связать n-местное отношение

R= {< х1, ... , xn > |A(х1, ... , xn)}, отношение R называется графиком предиката А (х1, ... , xn).

Бинарных отношений можно представить графами. Графом называется фигура на плоскости, состоящая из конечного числа точек — вершин графа — и линий, соединяющих некоторые из вершин. Линия, соединяющая какие-либо две вершины графа, называется ребром графа. Точки пересечения некоторых ребер графа могут не являться вершинами графа. Граф, на котором указаны стрелками направления всех его ребер, называется ориентированным (рис 1).

Ребро с двумя стрелками называется неориентированным (рис 2).

Рис.1                         Рис.2

 

§3 Функции

Бинарное отношение называется функцией (отображением), если для любых из того, что и , следует, что . Другими словами, отношение называется функцией, если для любого из области определения отношения существует единственное такое, что . Этот единственный элемент обозначается через и  называется значением функции для аргумента . Если , то используется общепринятая запись , а также запись .

Областью определения функции называется множество

Dom.

Областью значений функции называется множество

lm

Функции называются также отображениями, если функция задана на паре множеств А и В, т. е. , то говорят, что есть отображение из A в В. Если при этом A=Dom и ImB, то говорят, что есть отображение множества А в В, и записывают в виде или

Если A=Dom и B = Im, то говорят, что есть отображение множества А на B. Множество всех отображений A в В обозначается  символом ВA.

Функция, область определения которой состоит из упорядоченных пар, называется функцией двух переменных. Функция, область определения которой состоит из упорядоченных троек, называется функцией трех переменных. Если — функция двух переменных, то обычно вместо(x,y) пишут . Если — функция трех переменных, то вместо (x,y,z) пишут .

Композиция функции понимается как композиция отношений.

Теорема 1: Пусть и g —функции. Тогда их композиция g также есть функция такая, что

(a) Domg = {g()Dom};

(b) g)() =g для каждого Dom(g);

(c) g = {gg(Dom

Теорема 2: Пусть , g — произвольные функции, тогда

(a) Dom (g) Dom g, Im (g) Im ;

(b) если Im g Dom, то Dom (g) = Dom g;

(c) если Im g=Dom, то Dom ( g)=Dom g и Im ( g) = Im.

Теорема 3: Если g — отображение множества А в В и — отображение множества В в С, то g является отображением множества А в С.

Теорема 4: Если g — отображение множества А на В и — отображение множества В на С, то g является отображением множества А на С.