Контрольная работа по "Финансовой математике"

ЗАДАНИЕ 1

Приведены данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года:

Требуется:

1)      Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1 = 0,3, α2 = 0,6, α3 = 0,3.

2)      Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3)      Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

       Случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

       Независимости уровней ряда остатков по d- критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;

       Нормальности распределения остаточной компоненты по R / S критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4)      Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на 1 год.

5)      Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1) Строим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора

Общий вид модели:

где – расчетное значение уровня для момента времени t с периодом упреждения k;

k – период упреждения;

L – период сезонности;

(t – L) -  индекс сезонного коэффициента за аналогичный период прошлого года;

Ft – мультипликативный индекс сезонности;

a0(t); a1(t) – параметры модели;

Находим начальные оценки параметров a0(0) и а1(0), построив линейную трендовую модель при n = 8. Для нахождения параметров строим систему нормальных уравнений:

Получили модель:

Находим начальные мультипликативные индексы сезонности:

Производим корректировку параметров по формулам:

, , - параметры адаптации экспоненциального сглаживания.

Расчет скорректированных параметров, мультипликативных индексов сезонности, расчетных значений представлен в таблице:

2) Оценим точность модели

              Рассчитываем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

S = 1 / n · ∑ | E(t) / y(t)| · 100% = 1/16*0,182*100%=1,14%

Ошибка меньше 7%, модель считается точной.

3) Оценим адекватность построенной модели

- Свойство случайности. используем критерий поворотных точек.

Строим график остатков. Всего 10 поворотных точек.

10 > 6, следовательно, критерий поворотных точек выполняется и остатки  имеют случайный характер распределения.

Свойство независимости. Применим критерий Дарбина-Уотсона

d1 = 1,10      d2 = 1,37                   2 < dрасч < 4      Следовательно находим d’

d’ = 4 – dрасч = 4 – 2,409 = 1,591

Т.к. 1,37 < d’ = 1,591 < 2 , свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция в ряду остатков отсутствует.

Свойство подчинения нормальному закону распределения. Используем R/S критерий.

Расчетное значение R/S критерия попадает внутрь критических значений  (3 < 3,851 < 4,21), следовательно, свойство выполняется.

Вывод: поскольку рядом остатков выполняются все свойства, то модель считается адекватной. Модель качественная.

4) Построим точечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на один год.

Yрасч (t+k) = [55,678 + 0,970 · k] · F(t-L+k) – адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса

Ft :    F(4;1) = 0,878

         F(4;2) = 1,080

         F(4;3) = 1,276

         F(4;4) = 0,775

t = 17; k = 1 Yрасч(17) = [a0(16)+ a1(16)*1]*F(4;1)=(55,678 + 0,970*1)*0.878 = 49,726

t = 18; k = 2  Yрасч(18) = [a0(16)+ a1(16)*1]*F(4;2)=(55,678 + 0,970*2)*1,080 = 62,246

t = 19; k = 3  Yрасч(19) = [a0(16)+ a1(16)*1]*F(4;3)=(55,678 + 0,970*3)*1,276 = 49,726

t = 20; k = 4 Yрасч(20) = [a0(16)+ a1(16)*1]*F(4;4)=(55,678 + 0,970*4)*0.775 = 49,726

ЗАДАНИЕ 2

              Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.