Контрольная работа по «Финансовая математика»

     МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

     ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

     ИНСТИТУТ  ПРАВА И ЭКОНОМИКИ 
 
 
 
 
 
 

     Контрольная работа 

     по  дисциплине: «Финансовая математика» 
 
 
 

     Вариант № 9 
 
 
 

     Выполнила:                                                                                                                                                           

                                                                                       
 
 
 
 
 

     Липецк 2010 
 

     Задача 9 

     Сегодня днем цена акции равна 100 руб. За сутки  цена может вырасти на 10 % с вероятностью 1/3, с такой же вероятностью уменьшится в 1,1 раза и с такой же вероятностью 1/3 остаться равной 100 руб. Найдите распределение цены акции завтра и послезавтра. 

     Решение: 

     Распределение цены завтра будет выглядеть следующим  образом:

 

     Распределение цены послезавтра:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задача 19 

     Рассмотрим  схему принятия решений или связанную  группу операций с матрицей доходов  Q. Говорят, что i-е решение (операция) доминирует по доходам k-е решение (операцию), если q_ij ≥ q_kj для любого j=1,…,n. Доминирование решений по риску определяется аналогично, но с заменой неравенства на противоположное. Докажите, что доминирование по доходам эквивалентно доминированию по риску. Выведите отсюда, что доминируемое в рассматриваемом смысле решение не может быть рекомендовано ни одним из рассмотренных выше правил-критериев. Поэтому такое решение не должно рассматриваться вообще и соответствующая строка подлежит удалению из матрицы доходов. 

     Решение: 

     Каждая  предполагаемая операция характеризуется  предполагаемым доходом (эффективностью) и ожидаемым риском.

     Доход, получаемый фирмой от реализации i-го решения описывается рядом распределения . Риск фирмы при реализации i-го решения описывается рядом распределения .

     Пусть А - некоторое множество операций. Каждая операция имеет две числовые характеристики Е (а) , r (f), пусть эффективность и риск. Разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой.

     Соответственно, что при выборе наилучшей операции необходимо, чтобы Е было больше, а r меньше. В соответствии с условием задачи 1-я операция (а) доминируем k-ю операцию (b), т.е. a>b, если E(a)≥E(b) и r(a)≤r(b) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция а – доминирующая, а операция b – доминируемая, т.е. уже не может быть признана наилучшей. Следовательно, доминируемая операция не может быть рекомендована ни одним правилом-критерием и не рассматривается.

     Задача 29 

     Случайные доходы двух взаимосвязанных операций имеют таблицу распределения: 

 

     Найти эффективность и риск суммарной  операции. 

     Решение: 

     Ряд распределения суммарного дохода таков:

 

     Эффективность суммарной операции:

     m = q₁p₁ + …+ q_np_n = -1·0,1 + 0·0,2 + 1·0,2 + 2·0 + 3·0,5 = 1,6 

     Дисперсия:

     D=М[Q²]-m² = (1·0,1 + 0·0,2 + 1·0,2 + 4·0 + 9·0,5) - 1,6² = 2,24 

     Риск  суммарной операции:

     r=√D = √2,24 = 1,5 
 
 
 
 
 

     Задача 39 

     В простейшей биномиальной модели определим  с.в. С_n = max (0, S_n - S₀). Составьте ряды распределения для с.в. С₁, С₂, С₃.  

     Решение: 

     Вероятность того, что из n с.в. k приняли значение +1, а остальные (n-k) приняли значение -1, равна С^k_n (1/2)ⁿ. Следовательно, P(X_n=2k-n) = С^k_n (1/2)ⁿ.

     Ряды  распределения будут выглядеть  следующим образом. 

     Ряд распределения для С₁

 
 

     Ряд распределения для С₂

 
 

     Ряд распределения для С₃

 
 
 
 
 
 
 

     Задача 49 

     Рассмотрите два опциона на продажу, во всем одинаковые, но с разными ценами исполнения. Какой опцион дороже? 

     Решение: 

     Пусть рыночная цена актива S, цена исполнения R, а C - стоимость опциона на продажу. C = R-S, если R>S, и С=0, если R≤S. Это можно записать так: .

     По  условию задачи S₁ = S₂, а R₁ ≠ R₂.

     Ясно, что выигрыш тем больше, чем  больше разница R-S. Таким образом, при равенстве S₁ = S₂ дороже тот опцион, цена исполнения R которого выше. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задача 59 

     По  каким причинам может меняться безрисковая  ставка? 

     Решение: 

     Безрисковая ставка или эффективность безрисковых бумаг в США - учетная ставка Федеральной Резервной системы. Такая ставка фактически определяет цену кредитных денег: чем она меньше, тем они дешевле обходятся заемщикам. Поэтому снижение такой ставки вызывает оживление деловой активности, повышение - уменьшение деловой активности, что предохраняет экономику от «перегрева». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задача 69 

     В модели САРМ известны эффективности  и «бета» двух ценных бумаг. Как найти  безрисковую ставку и эффективность  рынка? 

     Решение: 

     Безрисковую ставку и эффективность рынка  можно выразить из формулы:

     m_n = m₀ + β_n (m_f - m₀),

     где m_n - эффективность каждой ценной бумаги;

     m₀ - безрисковая ставка;

     m_f - эффективность рынка;

     β_n - «бета» каждой ценной бумаги. 

     Расписав  равенства для 1-й и 2-й ценной бумаги можно выразить m_0.

       и  , приравняв левые части выражается m_f. 

       
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задача 79 

     Пусть функция полезности ЛПР есть u(x) = ln(1+x), уровень его капитала W. Ему предлагают лотерею, в которой выигрыш x и проигрыш х имеют вероятность соответственно р и 1-р. Найдите х, при котором такая лотерея ему безразлична. Каков ответ при р=0,5? 

     Решение: 

     Полезность  капитала, имеющегося у ЛПР, описывается  функцией:       u(w) = ln(1+w), соответственно, после выигрыша х полезность увеличится: u(w+x) = ln(1+w+x), а после проигрыша уменьшится: u(w-x) = ln(1+w-x). При значении вероятности р=0,5, выигрыш и проигрыш равновероятны, т.е. в любом случае капитал ЛПР изменяется. Лотерея будет безразлична ЛПР только при значении х=0, при котором полезность капитала ЛПР не изменится.